中学校の数学を教えてください！

質問

aを自然数とするとき、√2010ー15a の値が自然数になるようなaの値を全て求めよ。

という問題がわかりません(泣)
解き方を教えてください。
よろしくお願いします！

回答No.2

noname#208225 · ベストアンサー

基本的に、√（ルート）の中の数字が、ある数字の2乗になっているとき、√を外して、数として書けるのでした。
例えば√１６＝√(４×４)＝４　√１２１＝√(１１×１１)＝１１　といった感じですね。
※普通は2乗は数字の右上に２と書きます。

では、√１２になにかを掛けて、自然数にすることを考えましょう。
√１２＝√(2×2×３)ですね。√(2×2)＝２　、と直せるので、2乗の形になるためには√３を掛けてあげれば良い。
すると√１２×√３＝√(2×2×3×３)＝２√(3×３)＝６と直せました。

こんなかたちはどうでしょうか。
√(24-2a)の値が自然数になるようなaの値をすべて求めよ。
aの値を代入してももとめられそうですが、計算をしてみたいと思います。

24＝2×2×2×3　2a＝2×a
両者を共通因数（共通の数）でくくってあげると
24-2a＝2(12-a)
これを2乗の形にするには、と考えると、(12-a)が２か８、つまり２を奇数回(1,3,5・・・)かけた数字がよさそうです。
2×（2）、2×（2×2×2）となり、どちらも2乗の形が作れます。あとは12－a=　として求めてあげれば良いです。

※２を偶数回かけた数字では、↓
2×（2×２）、2×（2×2×2×２）で、前者が2√２、後者が4√２となり、きれいな数字にはなりません。

今回の問題では、√の中の数字を引き算して、2乗の形に直し、自然数の値を求めようとしています。
2010という数字はあまりにも大きいので、ひとまず素因数分解をしてあげます。
すると、2010＝2×3×5×67という解答が出てきました。
15a＝3×5×aですから、両者を共通因数でくくってあげると、
2010-15a＝3×5×(2×67-a)
後は上の問題と同じように考えてあげます。

お礼

ありがとうございました。
簡単な例題から教えて下さったので理解しやすかったです。
また分からない問題、教えて下さい!!

回答No.1

asuncion

√(2010 - 15a)
のことだとして…。

開平の結果が自然数になるということは、
2010 - 15a
が何かの2乗であることと同値。
つまり、2010 - 15aを素因数分解したとき、
s^(偶数) × t^(偶数) × u^(偶数) × ...
の形になる、ということ。

2010と15aを素因数分解してみる。
2010 = 2 × 3 × 5 × 67
15a = 3 × 5 × a
であるから、
2010 - 15a = 3 × 5 × (2 × 67 - a)
よって、2 × 67 - a = 134 - aが3でも5でも奇数回割り切れればよく、
かつ、3と5以外の素因数が偶数個あればよい。
よって、aは、
119（このとき、134 - a = 15 = 3 × 5）
59（このとき、134 - a = 60 = 2 × 2 × 3 × 5）

お礼

ありがとうございました。
今からもう一度解いてみます！