中３生の数学問題（√）教えてください

質問

中３の姪より、よく数学の質問をされるのですが、この問題はどのように解くのか・・わかりません。
どなたか、教えて下さい。

【問】
次の数が自然数となるような自然数ａの値をすべて求めよ。

（１）√384-12a
（２）√252(19-3a)
　　　　　　　《　√　は全ての数にかかっています　》

数字を単純に入れてみれば・・（１）の答えは５，２０，２９　（２）の答えは４になると思いますが、答えを導く数式が解かりません。

お願いします！

回答No.1

Yokoken · ベストアンサー

katomoneさん初めまして。

さて、ご質問の問題についてですが、
どちらかと言えば、(2)の方が簡単のように思いますので、そちらから。
√ab = √a √b という公式を前提にしておきます。

そうすると、
√252(19-3) = √252 √(19-3a)
= 6√7 √(19-3a) = 6 √7(19-3a)
という風に整理することが出来ます。
このルートを外すためには、
ルートの中が平方数になればいいわけです。
後は、順番に入れていけばいいのではないでしょうか？

ルートの中の数、つまり(19-3a) > 0 より、
自ずとaの値は絞られますので、解の探索もずっと楽だと思います。
ちなみに、7(19-3a) が平方数になるには、
19-3a が、7の倍数に平方数をかけたものになればいいですので、
19-3a = 7, 7*2^2 …
と言った感じで探索するといいのではないでしょうか。

同様に（1）に関しても、
まず、
√384-12a = √12(32-a)
= 2√3(32-a) と変形できますので、
32-a = 3, 3*2^2, 3*3^2、…　という風に解を絞っていけばいいと思います。

なかなか難しいですが、
参考になればと思います。

お礼

平方根はすっかり忘れていましたが、思い出しました。
丁寧な説明、感謝します！

回答No.2

madsin

(1)はルート内を１２でくくると１２(３２－ａ)になります。さらに１２を因数分解すると２×２×３(３２－ａ)となります。ここで(３２－ａ)がどんな数字にならなきゃいけないかを考えます。同じ数字が２乗になっていないとルートはとれませんから
２×２×３×「３」
２×２×３×「２×２×３」
２×２×３×「３×３×３」
が出てきます。これ以上数を増やすと３２におさまりませんからここまでで。あとは
３＝(３２－ａ)
２×２×３＝１２＝(３２－ａ)
３×３×３＝２７＝(３２－ａ)
を解けばａは５、２０、２９になります。
(２)も同じようにルート内が２×２×３×３×７(１９－３ａ)となり「７」が必要だなあとなります。ですから
７＝(１９－３ａ)
でａは４になります。

「こんなんはわかってんだよ。もっと理論的に」とかでしたらごめんなさい・・・。

お礼

シンプルな説明でとてもよく解かりました。Ｎｏ１の方の説明とミックスすれば、姪もよく理解できると思います。ありがとうございました！