数学の角度の問題です。

質問

下の図で、ABとDCは平行、AD＝BCの時、∠ｘ、∠ｙは何度ですか。（解説もよろしくお願いします。）

回答No.5

noname#215361 · ベストアンサー

最初の図では、確かにFの位置が特定されていなかったので、答えようがありませんでした。
改められた図においても、三角形ABEは正三角形であるはずなのに、二等辺三角形のようにしか見えず、三角形ABFは二等辺三角形であるはずなのに、そのようには見えません。
図形を正確に作成すると（自分はそうしてみましたが）、それをじっくり眺めているだけでひらめくことがあります。

まず、本題に入る前に二等辺三角形の定義について確認します。
二等辺三角形の定義は、二辺の長さが等しいということだけなので、二等辺三角形だから二つの底角の大きさが等しいとか、二つの底角の大きさが等しいから二等辺三角形だとか決めつけてはいけません。
ニ辺の長さが等しい場合に、頂角の二等分線を底辺まで引くと、頂角の二等分線の左右の三角形は、二辺の長さとそのはさむ角の大きさがそれぞれ等しく合同になるので、この結果として対応する二つの底角の大きさが等しいことになります。
二つの底角の大きさが等しい場合も同様に、頂角の二等分線を底辺まで引くと、残りの角の大きさがそれぞれ等しくなって（三つの角の大きさの合計は180°なので）、頂角の二等分線の左右の三角形は、一辺の長さとその両端の角の大きさがそれぞれ等しく合同になるので、この結果として対応する辺の長さが等しくなって二等辺三角形になります。
正三角形は、二等辺三角形の特殊なものなので、考え方は同様です。
では、本題に入ります。

この四角形はAD=BCであることから等脚台形であり∠DAB=∠CBA
これは、簡単には辺ABと辺DCぞれぞれの中点を結んで直線を引き、その直線で折り曲げればちょうど重なるからである（三平方の定理と、三角形の合同条件を使っても証明できる）
なお、等脚台形は必ず円に内接するようにできるので、そのような円を想定する
その円の中心は、辺ABと辺DCぞれぞれの中点を結んだ直線と、点Aと点C(または点Bと点D）を結んだ直線の垂直二等分線との交点である
AD＝BCから弧ADと弧BCに対する円周角の大きさも等しく∠BAC=∠ABD=60°
（円を想定せずに、三角形ABDと三角形BACが合同であることから∠BAC=∠ABD=60°を求めてもいい）
よって三角形ABEは正三角形→AB=AE
同様に弧DCに対する円周角の大きさも等しく∠DAC=∠CBA=20°
（このことからも∠DAB=∠CBA=20+60=80°であることがわかる）
三角形ABFに着目すると∠AFB=180-60-20-50=50°
よってAB=AF
上の結果からAB=AE=AF
よって三角形AEFは二等辺三角形であり底角の大きさは
（180-20)/2=80°
また三角形DECは平行線の性質から正三角形になり
∠DEC=60°（これは∠AEBの対頂角でもあり、他の角は三角形ABEのそれぞれの角の錯角になる）
これから
x=180-80-60=40°
∠ADB=180-60-20-60=40°
よって三角形FDEは二等辺三角形になりFD=FE
三角形FDCと三角形FECにおいて三角形DECが正三角形であることからDC=EC
FCは共通するので、三角形FDCと三角形FECは、三辺の長さがそれぞれ等しく合同
よって対応する角の大きさは等しく
y=60/2=30°

一応図から等脚台形であると判断しましたが、ABとDCは平行、AD＝BCのときという条件だけからは、平行四辺形も考えられます。

お礼

錯角などの関係で色々と角度は判って、∠AFB＝∠ABF＝５０°というのも出してはいたのですが、AF=AB=AEで、三角形AEFが二等辺三角形になる、というのは見逃していました。どうも有難うございました。

回答No.6

yyssaa

＞
△ABFの内角の和より∠AFB=50°だから△ABFは二等辺三角形であり
AB=AF。∠ABDは∠BDCの錯角で60°だから△ABEは正三角形であり
AB=AE。AF=AEから△AEFは二等辺三角形であり∠AEF=∠AFE=80°。
∠ACDは∠CABの錯角で60°だから△CDEは正三角形であり∠CED=60°。
x=180°-∠AEF-∠CED=180°-80°-60°=40°・・・答
△ABDの内角の和から∠ADB=40°だから△EDFは二等辺三角形であり、
DF=EF。さらに∠CDF=∠CEF=100°、CD=CEでCFは共通だから
△CDF≡△CEFであり、y=(1/2)*∠DCE=30°・・・答

お礼

△AEFは二等辺三角形ですね、どうも有難うございました。

回答No.4

yyssaa

＞回答No.1は無視して下さい。錯覚でした。済みません。

回答No.3

neKo_deux

∠ＤＢＡが、∠ＢＤＣの錯角で60度。
△ＡＥＢが正三角形と分かる。
△ＤＥＣも正三角形。

ＦとＥにＡＢと平行な補助線入れてみたりで、片っ端から角度を書き込めば、求まるような？求まらないような？

--
個人的に手段を選ばない解きかたなら、
Ａを原点、
Ｂを（１，０）とする。
前述の条件から、Ｅの座標は（1/2, (√3)/2）
直線ＡＤのy=tan80度xと、Bを通って傾き50度の直線の交点のＦの座標が分かる。
ＢＥとＡＦの交点のＤの座標が分かる。
Ｃの座標も計算できる。
Ｄ、Ｅ、Ｆの座標が分かるので、ｘが求められる。
Ｆ、Ｃ、Ｅの座標が分かるので、ｙが求められる。
とか。

80度とか50度のtan値が必要(無くても計算過程で消えるか？)ですが、解析的に解ける事は確認できるかも。

お礼

有難うございました。

回答No.2

spring135

Fが定義されていないので答えようがありません。

Fを下のほうに下げていくとx,yが変わるのがわかりますか。

回答No.1

yyssaa

＞問題図に間違いあり。