高校数学の長さと角度の問題です 3-5

質問

ABを斜辺とする直角3角形ABCがある　辺AC上に頂点A,Cと異なる任意の点Pを取るとき、次の不等式が成り立つことを示せ

(AB-BP)/AP>(AB-BC)/AC

解説はAB上に点D,EをBD=BC,BE=BPとなるようにとるとAB-BP=AE(1)　AB-BC=AD(2)

AB上に点FをPF//CDとなるようにとると、∠PFB<∠PEBだから　EはBとFの間にある、したがって

AE/AP>AE/AP=AD/ACよって(1)(2)から題意は証明された

とあるのですがAB上に点FをPF//CDとなるようにとると、∠PFB<∠PEBだからとありますが何故

∠PFB<∠PEBだからと言えるのでしょうか？∠PFB>∠PEBとなる事もあり得ませんか？

それとAE/AP>AE/AP=AD/ACこれも何故言えるのか分かりません、この分数は何を表しているのですか？最後の等号の所も何で成り立つのか分かりません

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

(1)
> ∠PFB<∠PEBだからとありますが何故
> ∠PFB<∠PEBだからと言えるのでしょうか？∠PFB>∠PEBとなる事もあり得ませんか？

常に ∠PFB<∠PEB です。

(∵)
PF//CD なので、∠PFB = ∠CDB。
△BCD は二等辺三角形なので ∠CDB = (180度-∠DBC)/2 = 90度 - ∠DBC/2。
△BPE も二等辺三角形なので ∠PEB = (180度-∠EBP)/2 = 90度 - ∠EBP/2。
∠DBC > ∠EBP より
　90度 - ∠DBC/2 < 90度 - ∠EBP/2
　 ∠CDB < ∠PEB
　∠PFB < ∠PEB
■

(2)
> それとAE/AP>AE/AP=AD/ACこれも何故言えるのか分かりません、この分数は何を表しているのですか？最後の等号の所も何で成り立つのか分かりません

AE/AP > AF/AP = AD/AC の写し間違いですよね(2つ目の AE → AF)。
分数は、辺の長さの比(割り算)を表します。
一つ目の不等号は、
　「EはBとFの間にある」より、AE > AF なので AE/AP > AF/AP
です。最後の等号は
　PF//CD なので △AFP∽△ADC より、AF:AP = AD:AC
から出ます。

お礼

御返答有難うございます

補足

おおー、完璧に分かりました、誠に有難うございました

>写し間違いですよね(2つ目の AE → AF)。
はい、すいません、書き間違いました