空間図形の問題です

質問

空間図形の問題です。

四面体OABCがある。
辺OA、AB、BC、OC上（いずれも端点をのぞく）にそれぞれ
OP；PA＝p;1-p
AQ；QB＝q;1-q
BR；RC＝1-r;r
CS；SO＝1-s;s

を満たす、点P、Q、R、Sを取る。

このとき、P、Q、R、Sが同一平面上にあれば、

（１／p -1）( 1/q - 1)= (1/r - 1)( 1/s -1) が成立することを示せ。

ここで、私は、

→OP＝α→OS＋β→OR＋γ→OQ（α＋β＋γ＝１ ）
= αs→OC＋β（r→OB＋（１－r）→OC ）＋γ（（１－q）→OA＋q→OB）

ややこしいで、α、β、γを

から→OP＝X→OS+Y→OQ＋Z→OR
とおいて

展開し、→OAと→OBと→OCでまとめると

Y（１ーq)→OA　＋(Yq+Zr)→ob+ (XS+Z(1-r))→oc

になり、

もう一方の

→OP＝p→OA

一次独立の考えで

ｐ＝Y（１ーq)
０＝(Yq+Zr)
O＝ XS+Z(1-r)

これから、

（１／p -1）( 1/q - 1)= (1/r - 1)( 1/s -1)

を求める方針でよろしいいですか？？

回答No.2

momordica · ベストアンサー

私の書いたことを酌んで下さったようで、ありがとうございます。
きつい言い方をしてしまって申し訳ありませんでした。

お困りの式変形についてですが、X,Y,Zをp, q, rで表した

　X=pq(1-r)/(rs(1-q))
　Y=p/(1-q)
　Z=-pq/(r(1-q))

を　X+Y+Z=１　に代入して
　pq(1-r)/(rs(1-q))+p/(1-q)-pq/(r(1-q))=1　　…(A)
とするところまでは大丈夫ですね？

ここからの変形ですが、まず、両辺に (1-q)/pq を掛けて
　(1-r)/rs+1/q-1/r=(1-q)/pq
p, qを含む項を右辺に、r, sを含む項を左辺に移動して
　(1-r)/rs-1/r=(1-q)/pq-1/q
両辺に１を加えて
　(1-r)/rs-1/r+1=(1-q)/pq-1/q+1
両辺を通分してまとめて
　(1-r-s+rs)/rs=(1-p-q+pq)/pq
分子を因数分解して
　(1-r)(1-s)/rs=(1-p)(1-q)/pq
　⇔　((1-r)/r)((1-s)/s)=((1-p)/p)((1-q)/q)
　⇔　(1/r-1)(1/s-1)=(1/p-1)(1/q-1)　　…(B)

目的の形と比べると、左右が逆ですが、これで完了です。

こうやって、(A)式から直接、式変形で（B)式が導ければ、それに越したことは
ないのですが、見てお分かりの通り、目的の形に近付けるためにやや恣意的な
変形をしないと(B)には辿り着きません。

こういう場合、(A)から(B)を直接導くことにこだわらず、スタートである（A)と
ゴールである（B)にそれぞれ、「分母を払う」「展開して同類項をまとめる」などの
当たり前の変形を加えて整理してみるという手があります。

（A)式の分母を払い、展開、整理すると、
　pq(1-r)/(rs(1-q))+p/(1-q)-pq/(r(1-q))=1
　⇔　pq(1-r)+prs-pqs=rs(1-q)
　⇔　pq-pqr+prs-pqs=rs-qrs
　⇔　pq-rs-pqr-pqs+prs+qrs=0　　…(C)

（B)式についても、同様の整理をすると、
　(1/r-1)(1/s-1)=(1/p-1)(1/q-1)
　⇔　((1-r)/r)((1-s)/s)=((1-p)/p)((1-q)/q)
　⇔　pq(1-r)(1-s)=rs(1-p)(1-q)
　⇔　pq-pqr-pqs+pqrs=rs-prs-qrs+pqrs
　⇔　pq-rs-pqr-pqs+prs+qrs=0　　…(C)

全く同じ式になります。
ここでの変形はすべて同値変形ですから、(B)→(C)という変形の逆をたどれば
(C)→(B)のようにも変形できます。
よって、(A)→（C)のあと(C)→(B)と変形すれば、(A)→(B)→(C)のように
(A)から(B)を導くことができることになります。

私が先のスレッドで付けた回答は、おそらく今のあなたが身につけようと頑張っている
ことに対してはあまり役に立たないことだったかもしれません。
ただ、同じ問題をいろいろな角度から見てみるということは、決して無駄にはならない
と思いますので、一度眼を通していただけると幸いです。

勉強、頑張ってください。
めげずに分からないことがあればこちらへも質問を出してくださるとうれしいです。

お礼

返事ありがとうございます。

A)式の分母を払い、展開、整理すると、
　pq(1-r)/(rs(1-q))+p/(1-q)-pq/(r(1-q))=1
　⇔　pq(1-r)+prs-pqs=rs(1-q)
　⇔　pq-pqr+prs-pqs=rs-qrs
　⇔　pq-rs-pqr-pqs+prs+qrs=0　　…(C)

（B)式についても、同様の整理をすると、
　(1/r-1)(1/s-1)=(1/p-1)(1/q-1)
　⇔　((1-r)/r)((1-s)/s)=((1-p)/p)((1-q)/q)
　⇔　pq(1-r)(1-s)=rs(1-p)(1-q)
　⇔　pq-pqr-pqs+pqrs=rs-prs-qrs+pqrs
　⇔　pq-rs-pqr-pqs+prs+qrs=0　　…(C)

ここのところが、すごくわかりやすかったです。
おかげで、わかりました。
また、お願いします。

回答No.1

nag0720

大文字と小文字、全角と半角、０とＯがごちゃまぜになって書かれているので非常に見にくいですが、
解法の方針は合っています。

お礼

回答ありがとうございます。

数学の文字の文字の打ち方が
へたくそで・・・。

効率良くSnとか、ａｎとか打てる方法知りませんか？？

補足

Ｘ＝（ｐｑ/１－ｑ）＊（１‐ｒ）/ｒ＊１/ｓ

Y＝ｐ/１－ｑ

Z＝（－ｐｑ/１－ｑ）＊（１/ｒ）

と、求めて

X＋Y＋Z＝１の式に代入しても、
どうしても・・・

（１／p -1）( 1/q - 1)= (1/r - 1)( 1/s -1)

にならないのですが・・・。