実数

質問

xについての2次方程式(x＾2)-2px＋(p＾2)-2p-1=0の２つの解をα、βとする。
1/2*{((α-β)＾2)-2}/{((α＋β)＾2)＋2}が整数となる実数Pをすべて求める方法がわかりません。

解と係数の関係からα+β=2p,αβ=p^2-2p-1
を考えたのですがどうやって求めるのかわかりません。

できれば、途中式もおねがいします。
おねがいします。
本当にわかりません。

回答No.5

hinebot · ベストアンサー

>D=(b＾2)-4*ac
>をつかったのですが
>（-4k)＾2-4*4K*(2k-1)
>=-16k(k-1)
>になってしまいました。

判別式をとる式は　4kp^2-4p+2k-1=0　ですね。
係数a,b,c のうち、bが間違ってます。
b=-4k で計算されてるようですが、b=-4 です。
すると、
D=(-4)^2-4*4k*(2k-1)
　=-32k^2+16k+16
になります。

余談ですが、bが偶数なので、b=2b' とおいて
D/4=(b')^2-ac
という判別式が使えます。これを使うと計算がやや楽になります。
　※D=b^2-4ac にb=2b' を代入する。
　　D=(2b')^2-4ac = 4(b')^2-4ac
　　これの両辺を4で割ったものです。

もうひとつの疑問。

>なぜK=0とKキ0の二つをもとめるのですか？

元の式
4kp^2-4p+2k-1=0
のp^2 の係数が4k で、ｋが含まれているからです。
k=0 のとき、p^2の係数が0なので、この式は（-4p-1=0 というpについての）一次方程式になり、二次方程式でなくなります。
二次方程式でなければ、判別式は使えません。
（∵判別式は解の公式に由来しており、分母に0が来ることになります。）
そのため、場合分けが必要なのです。

回答No.7

kony0

確かに！
私も問題の読み間違い＆場合分けのずさんさがありました・・・
すみませんでした。

回答No.6

hinebot

#5です。

解法としては#4さんが正解ですね。
#3さんの答えがなぜ食い違っているか説明しておきます。

>pは実数⇒判別式/4=2^2-4k(2k+1)=-8k^2-4k+4が平方数

ここがおかしいです。
判別式が平方数というのは、解の公式の平方根が外れるだけで、実数条件の全てではありません。
（有理数である条件、と言えるでしょうか）
pは実数ですから、√が外れる必要性はないため、この条件を追求しても意味がない訳です。

回答No.4

springside

#1です。

そうでした。pは整数とは限らないことを忘れてました。

#3の方のように、(4p+1)/(4p^2+2)=k（kは整数）とおくと、
　4kp^2-4p+2k-1=0・・・※
となる。

１．k=0のとき
※は、-4p-1=0となるから、p=-1/4である。

２．k≠0のとき
※はpの２次方程式となり、実数解を持つから、
判別式=-32k^2+16k+16≧0
2k^2-k-1≦0
(2k+1)(k-1)≦0
-1/2≦k≦1

kは整数(≠0)なので、k=1
このとき、※は4p^2-4p+1=0となり、(2p-1)^2=0なので、p=1/2である。

以上により、p=-1/4, 1/2

補足

ちょっとした疑問なのですが、
なぜK=0とKキ0の二つをもとめるのですか？

k≠0のとき
にききたいのですが
判別式=-32k^2+16k+16≧0
がうまく計算できません
D=(b＾2)-4*ac
をつかったのですが
（-4k)＾2-4*4K*(2k-1)
=-16k(k-1)
になってしまいました。
おしえてください。

回答No.3

kony0

これはかなり難しいですね。

> (4p+1)/(4p^2+2)
となりますが、

> 分子は奇数、分母は偶数なので、整数にはなりません。
というのは必ずしも言えません。理由はpは整数ではなく「実数」なので。

(4p+1)/(4p^2+2)=k（kは整数）とおく。
※整数の値がなになのかわからないので、とりあえず文字で置いてみる。

4kp^2-4p+(2k+1)=0…(*1)（分母を払っただけ）

pは実数⇒判別式/4=2^2-4k(2k+1)=-8k^2-4k+4が平方数
（2次方程式の整数（実数）解問題の定石の1つ）

ここで、-8k^2-4k+4=-8(k^2+(1/2))^2+6≦6

したがって、-8k^2-4k+4は６以下の整数（整数なのはkが整数だから）でかつ平方数なので、0,1,4以外にはありえない。

（一般に平方数は無限にあるが、2次式で2次の係数が負⇒値の上限が押さえられる⇒平方数が有限個に絞られる・・・これも2次方程式の整数解の定石の１つ）

あとは、それぞれの場合を考えてkの値を求め、それを(*1)に代入することでpを求める。
p=-1/2, 1/4, 0, -2が答えだと思います。

補足

ありがとうございます。
答はp=-1/4, 1/2だそうです

回答No.2

noname#17965

α+βとαβから
（αーβ）^2
=α^2-2αβ+β^2
=(α^2+2αβ+β^2)-4αβ
=(α+β)^2-4αβ
=(2p)^2-4(p^2-2p-1)
ポイントは３行目ですね。これとα+βを代入して整理すると、問題の式はかなり簡単になります。
P/(P^2+1/4)=mとおく。ｍ：整数
この式がＰについて実数解を持つための条件を調べます。

変形するとＰの２次方程式になります。これが実数解を持つ条件は、分かりますね。ｍの値が決まります。求まったｍに対してｐを求めれば終わりです。

回答No.1

springside

(α+β)^2=4p^2
(α-β)^2=α^2-2αβ+β^2
=α^2+2αβ+β^2-4αβ
=(α+β)^2-4αβ
=4p^2-4(p^2-2p-1)
=8p+4

なので、

1/2*{((α-β)＾2)-2}/{((α＋β)＾2)＋2}
=1/2*{(8p+4)-2}/{(4p^2)＋2}
=(4p+1)/(4p^2+2)

となって、分子は奇数、分母は偶数なので、整数にはなりません。

問題を書き写し間違ってませんでしょうか。
（私が勘違いしてるかな）