円柱の体積の問題で、、何故か偏微分が!?
A right circular cylinder has base raius r=100 cm and height h=100 cm. Which of the following
best describes how the volume of the cylinder will change if r increases to 101cm and h decreases
to 99cm?
(A) Volume will decrease by approximately 3π(100)^2 cubic cm
(B) Volume will decrease by approximately π(100)^2 cubic cm
(C) Volume will increase by approximately π(100)^2 cubic cm
(A) Volume will increase by approximately 2π(100)^2 cubic cm
(A) Volume will inecrease by approximately 3π(100)^2 cubic cm
という問題です。
V(r,h)=πhr^2
と置き、V(101,99)-V(100,100)を求めればよいのだとおもいますが
解答は
∂V/∂r=2πrh,∂V/∂h=πr^2
で
V(101,99)-V(100,100)={(∂/∂r)V(100,100)}(101-100)+{(∂/∂h)V(100,100)}(99-100)
=2π(100^2)(101-100)+π(100^2)(99^100)
≒π(100^2)
という風にさらっと書いてあります。
∂V/∂r=2πrh,∂V/∂h=πr^2はそれぞれ、側面積と底面積ですよね。
そして、
V(101,99)-V(100,100)={(∂/∂r)V(100,100)}(101-100)+{(∂/∂h)V(100,100)}(99-100)
は
{(∂/∂r)V(100,100)}・101+{(∂/∂h)V(100,100)}・99-[{(∂/∂r)V(100,100)}・100+{(∂/∂h)V(100,100)}・100]
と書けて、これは個々の
側面積×半径+底面積×高さ
の差をとっている事かわかりますが
どうして
側面積×半径+底面積×高さ
が体積を表すのでしょうか?
確かに計算すれば
側面積×半径+底面積×高さ=πhr^2にはなりますが。。。
何故、いきなり偏微分が出てくるのかがよく分からないのです。
お礼
ありがとうございました。 ですね、結構単純でした・・すいませんでした^_^;