微分の最適化問題

質問

鋼板で円筒形のボイラーを作るのに，鋼板1m2当たりの加工費を含む費用が側面と底面とでそれぞれ2000円，3000円とする．容量30m3のボイラーを費用を最小にして制作するには底面の半径をいくらにしたらよいか．ただし，ボイラーの上蓋は制作しないこととする．

という微分の応用問題なのですが，

底面の半径をr，円柱（ボイラー）の高さをhとして，
コスト C(r) = 2000*h*2πr + 3000*πr^2
また，円柱（ボイラー）の容積は30m2であるから，
πr^2*h = 30 ⇔ h = 30/πr^2
これを上の式に代入して計算したところ
C(r) = 3000(πr^3 + 40)/r
となってしまい，どうすればいいかわからなくなってしまいました．

根本的に考え方が間違っていると思うので，どなたか解き方を教えてください．

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

C(r) = 2000*h*2πr + 3000*πr^2
= 3000(πr^2 +40/r) (r>0)
このグラフをr>0で書くと最小値を１つ持つことが分かります。
(増減表を作って描けばより正確に描けます)

dC/dr=(6000*(πr^3-20))/r^2　より
dC/dr=0となる
半径r=(20/π)^(1/3)≒1.853361089630426 [m]≒1853 [mm]
のとき　
加工費C(r)は最小になり
最小加工費C=180000*(π/20)^(1/3)≒97120.85円≒97121円
となります。

お礼

途中までは合っていたのですね．
助かりました，有難うございます！