円柱の体積の問題で、、何故か偏微分が!?

質問

A right circular cylinder has base raius r=100 cm and height h=100 cm. Which of the following
best describes how the volume of the cylinder will change if r increases to 101cm and h decreases
to 99cm?
(A) Volume will decrease by approximately 3π(100)^2 cubic cm
(B) Volume will decrease by approximately π(100)^2 cubic cm
(C) Volume will increase by approximately π(100)^2 cubic cm
(A) Volume will increase by approximately 2π(100)^2 cubic cm
(A) Volume will inecrease by approximately 3π(100)^2 cubic cm

という問題です。

V(r,h)=πhr^2
と置き、V(101,99)-V(100,100)を求めればよいのだとおもいますが

解答は
∂V/∂r=2πrh,∂V/∂h=πr^2
で
V(101,99)-V(100,100)={(∂/∂r)V(100,100)}(101-100)+{(∂/∂h)V(100,100)}(99-100)
=2π(100^2)(101-100)+π(100^2)(99^100)
≒π(100^2)

という風にさらっと書いてあります。

∂V/∂r=2πrh,∂V/∂h=πr^2はそれぞれ、側面積と底面積ですよね。
そして、
V(101,99)-V(100,100)={(∂/∂r)V(100,100)}(101-100)+{(∂/∂h)V(100,100)}(99-100)
は
{(∂/∂r)V(100,100)}・101+{(∂/∂h)V(100,100)}・99-[{(∂/∂r)V(100,100)}・100+{(∂/∂h)V(100,100)}・100]
と書けて、これは個々の
側面積×半径+底面積×高さ
の差をとっている事かわかりますが
どうして
側面積×半径+底面積×高さ
が体積を表すのでしょうか?

確かに計算すれば
側面積×半径+底面積×高さ=πhr^2にはなりますが。。。

何故、いきなり偏微分が出てくるのかがよく分からないのです。

回答No.2

noname#24129 · ベストアンサー

全微分をとっているのです。

独学なので、私なりの言葉で説明します。
この体積関数には、お分かりでしょうが、r,hの２種類の変数がありますね。

体積の変化量をその２種類の変数に関連させて記述したいわけです。１変数の微分については既知であるとします。それを利用するために変形します。

そのためには、一方を定数とみなさなければなりません。まず、r変数、h定数とみてみましょう。中２項を付け加えました。なぜか分かるでしょう。１変数の微分の定義式の分子の形を作ったのです。

V(r+a,h+b)-V(r,h)=V(r+a,h+b)-V(r,h+b)+V(r,h+b)-V(r,h)　…(1)

ちょうど、うまい具合に、hのほうもいい形になってくれました。前２項はrの微小変化に対しての、Vの微小変化、後ろ２項は、同様のhに対する・・・。

(1)の左辺は体積の変化量として、dVとあらわしていいでしょう。また、dy=(dy/dx)dxと形式的に変形できますので、右辺は、

(dV/dr)dr+(dV/dh)dh

と表せそうですが、(　)の中は、２変数関数を微分するので偏微分となります。すなわち、(1)の式から、次のように変形します。

dV=(∂V/∂r)dr+(∂V/∂h)dh

dVをVの全微分というのです。問題の解はこれに代入しただけなのです。

おそらく、全微分の利用の仕方のウォーミングアップのような意図がこの問題にはあるのでしょう。なぜなら、この問題は、全微分の定義式を使う必要はないのですから。

単純に考えて、

高さを一定のとき、底面の半径が1/100増えると、体積は、(1/100)^2増える。

また、半径を一定が一定のとき、高さが1/100減ると、体積は、1/100減る。

この両方をまとめて考えると、２次の微小量は無視できるから(特殊相対性理論でアインシュタインもつかった考え)、体積は1/100減るといえる。

答え　(B)

以上の数学的論理を形式的に数式で示したものが、全微分なのでしょうね。

＞どうして
側面積×半径+底面積×高さ
が体積を表すのでしょうか?

これは、誤解です。
側面積×半径の微小変化量+底面積×高さの微小変化量
が体積の微小変化量を表しているのです。

たまたま、もとの体積π(100)^3に、体積の微小変化量π(100)^2 が似ていたので、誤解されたのでしょう。

お礼

有難うございます。お蔭様で大変勉強になりました。

回答No.4

N64

この問題だけを見ても、なぜ、いきなり偏微分が出てくるのかは分からないと思います。この問題が、どこにあったのか、どういう話題の中で出てきたのかがわからなければ。

お礼

有難うございます。お蔭様で大変勉強になりました。

回答No.3

noname#20644

体積V=πr^2・hの変化は、ΔV=(∂V/∂r)・Δr+(∂V/∂h)・Δhで表わされます。
偏微分を使ったのは、体積Vが高さと底面の半径の関数であり、hがそのままで、rのみが変わる場合と、rがそのままでhのみが変わる場合を考えようとしたからです。

ただし、この方法を使う時に注意するべきことは、(∂V/∂r)・Δrの部分です。
(∂V/∂r)がrの関数であり、定数でないため、rの値によって異なることです。正確に求めるには、一旦微分したものをですが、積分しなければなりません。

今の場合、Δrに相当するのが小さいので、大きな誤差を生みません。しかし、誤差を含んでいることは明らかであり、そのため、近似であると記す記号、「≒」が使われているのです。

大雑把に、底面の半径が大きくなり、高さが低くなったとき、体積にどのような影響が出るかなど、複数の変数が増減するときの効果を簡単に調べるために、このような方法が採用されることがしばしばあります。

お礼

有難うございます。お蔭様で大変勉強になりました。

回答No.1

higenotojo

円柱の体積を　底面積×高さ　と考えると、　高さが変化した時の体積の変化は、　底面積×（高さの変化分）　と表すことができます。
一方、円柱をバームクーヘンと思って見てみると、　円柱の体積は、　（側面の面積×厚み）を半径０からｒまで積分した物　と考えることができます。　このように考えると、半径が変化した時の円柱の体積の変化は、　側面積×（厚み＝半径の変化分）　と表すことができます。
偏微分が出てくるのは、独立変数が複数有る場合の考え方を理解して欲しいからでしょう。　そうでなければ、簡単すぎる問題です。

お礼

有難うございます。お蔭様で大変勉強になりました。