積分が途中までしかできません。

質問

In log(1+x^2)dx
=In (x)' log(1+x^2)dx
=x log(1+x^2)-In x　log(1+x^2)dx
までやってみたのですがその先がわかりません。
-In x log(1+x^2)dxの部分をどうしていいのか分りません。

x log (1+x^2)+2arctanx-2x
になるはずなのですが。

だれか教えてください。

回答No.3

tra_tata · ベストアンサー

>> In log(1+x^2)dx
>> =In (x)' log(1+x^2)dx
>> =x log(1+x^2)-In x　log(1+x^2)dx

部分積分を適用するのは良いのですが、3行目の第2項でミスしています。
非積分関数はlog(1+x^2)ではなく、それを微分した2x/(1+x^2)です。

つまり、
>> In log(1+x^2)dx
>> =In (x)' log(1+x^2)dx
　= x log(1+x^2)-2∫(x^2)/(1+x^2) dx　…(*)

∫(x^2)/(1+x^2)dx
これについては、
　被積分関数を、(x^2)/(1+x^2)=1-1/(1+x^2)と変形すれば、

(*)= x log(1+x^2)-2∫[1-1/(1+x^2)] dx
　=x log(1+x^2)-2x+2arctanx

お礼

みなさまありがとうございました。
ようやく理解できました。
数学ってやっぱりむずかしいです。

回答No.2

owata-www

In log(1+x^2)dx
=In (x)' log(1+x^2)dx →ここまではいいですね
=x log(1+x^2)-In x　log(1+x^2)dx 　→ここが違いますね

==x log(1+x^2)-In x　(log(1+x^2))'dx
=x log(1+x^2)-In x * 2x/(1+x^2)dx
=x log(1+x^2)-In 2x^2/(1+x^2)dx
=x log(1+x^2)-In 2-1/(1+x^2)dx
ですね

回答No.1

proto

部分積分の適用を間違えています、
＞=x log(1+x^2)-In x　log(1+x^2)dx
ではなく、正しくは
　=x log(1+x^2)-In x　(log(1+x^2))'dx
となるはずです。