積分の質問です。

質問

∫dx/(a+bcosx )について

a^2<b^2のとき、
与式={1/√(b^2-a^2)}log|{b+acosx+(sinx)√(b^2-a^2)}/(a+bcosx)|となるらしいのですが、どのような計算をすればこうなるのか分かりません。

tan(x/2)=tとおいて
与式=2∫dt/{(a-b)t^2+(a+b)}となるところまでは
分かるのですが。

回答No.1

spring135

I=∫dx/(a+bcosx )=2∫dt/{(a-b)t^2+(a+b)}=[2/(a-b)][∫dt/{t^2+(a+b)/(a-b)}

c^2=(a+b)/(b-a)>0とする。

I=[2/(a-b)[∫dt/{t^2-c^2)}=[1/(a-b)c]∫[1/(t-c)-1/(t+c)]dt

=[1/(a-b)c]log|(t-c)/(t+c)]dt+C

Cは積分定数

この後c,tをa,b,xに戻していくだけです。