数列で・・・

質問

公差が正整数の等差数列があり、そのある項は0で、
初項から第35項までの和は665である。この数列の公差を求めよ。

という問題がありましたが、難しすぎて解けませんでした。
どうかお助けください。よろしくお願いいたします。

回答No.7

seian · ベストアンサー

公差をd、初項をA1、第n項をAn、n項までの和をSnというように表すと

An = A1 + (n -1)d ---(1)
Sn = n(A1 + An)/2 ---(2)

今、第35項までの和が665なので(2)式に代入して

35・(A1 + A35)/2 = 665

これを整理すると、

A1 + 17d = 19 ---(3)

ここでこの数列はある項が0となることが分かっており、
公差が整数であることも分かっているのですべての項は
公差dの整数倍となる筈である。よってA1はある整数mを用いて

A1 = md

と表せる筈。 これを(3)に代入して整理すると

d = 19/(m + 17) ---(4)

条件よりdは正の整数であるから上式の分母は19の約数でなければならない。
よって

m + 17 = 1 or 19

19の場合はm=2、d=１となり初項 A1 = 2 となってしまい、0 の項を含む
という条件に合致しない。ゆえに

m = -16
d = 19

初項：A1 = md = -304 となります。
後は128yenさんが検算されているようなので・・・。

お礼

大変ためになりました、ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.8

nagata

ある項が0⇔初項が公差の倍数なので
公差=d
初項 a0=kd(k<0)
とします。

Σ(i=1,35)ai=35(kd+kd+34d)/2=665
(k+17)d=19

k+17とdは19の約数。しかしk<0,d>0なので

d=19
k=-16

だと思います。

お礼

簡潔でわかりやすいご説明、ありがとうございました。
「ある項が0⇔初項が公差の倍数」と言う手を思いつきませんでした。

回答No.6

rei00

rei00 です。先の私の回答，ひどいミスしてますね。

＞ある項が０となるには，a(1) = 0 でなければいけない。
　こんな事は言えませんね。この部分無視して下さい。よければ，参考 URL だけ使って下さい。

回答No.5

nabayosh

やはりなんかおかしいみたいです。無視しちゃってください。

回答No.4

nabayosh

これはあくまでも僕なりのあがき方なので、役に立たないかもしれません。
ａn ＝ａ1 ＋（ｎ－１）ｄ
ですね。で、
Ｓn ＝０．５ｎ｛２ａ1 ＋（ｎ－１）ｄ｝
ですから、
Ｓ35＝０．５×３５（２ａ1 ＋３４ｄ）＝６６５と。
５９５ｄ＋３５ａ1＝６６５
これは全部３５で割れるんですね。
１９ｄ＋ａ1 ＝１７
おや、これってａn の式に近いな、と。
ｎが２０の時はａn ＝１７なのかと納得できるのですね。
それと、ある項は０というヒントを使ってませんでしたね。
ある項が０になるためには、１７を何項か前後で０にするわけですから、
ｄ＝正整数より、ｄは１か１７かってことになりますね。
だって、１７は素数だから。
（ここから仮定の段階ね）
ｄ＝１だったら、ｎ＝３の時にａn ＝０ということね？
そうすると、ａn ＝０＝ａ1 ＋２、ってことだからａ1 ＝－２。
１９ｄ＋ａ1 ＝１７にあてはめると成立はするのね。
で、ｄ＝１７だったらだけど、ｎ＝１９の時にａｎ＝０でしょう？
これ、カンでもわかるんだけど、ａ1 からａ18まで、負になるわけだから、３５項まで足しても、多分というか絶対正にはならないし、ましてや６６５なんてならないことがわかるのですね。

はい、そういうことで、僕は公差１と出してみましたが、どうでしょう。合ってますか？　数列はひさしぶりなので、なんとも。
誰か後の人、この理屈に穴があったら言ってくださいね。

お礼

ご回答ありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.3

finetoothcomb

初項をa1
項差をd（正整数）　
等差数列の第n項をan　とすると
an=a1+(n-1)*d

「初項から第35項までの和は665である」より
Σ{k=0,35}(a1+(k-1)*d)=665
　：
a1+17*d=19 ---(1)

「等差数列(があり、そ)のある項は0で」より
a1+(n-1)*d=0 ---(2)

(2)-(1)として、a1を消去する. nとdの整数式とすると次が出る.
(18-n)*d=19 ---(3)

「公差(d)が正整数」および「項数(n)も正整数」という条件を
(3)に適用すると、(3)を満たす、n、ｄは次しかない.（このような論理展開をさせるのが割と珍しいと感じられたのかなと思いました)

n=17, d=19

項差は19.

お礼

迅速なご回答本当にありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.2

128yen

初項A1、公差ｄ、第n項をAnとすると An=d(n-1)+A1。。。(1)式

またA1からAnまでの和Snは、 Sn＝（A1+An)*ｎ/2。。。(2)式

まず初項から35項までの和が665であるから、S35＝（A1+An)*35/2＝665
これより A1+A35＝38。。。(3)式

(1)式よりA35=34d+A1だから、これに(3)式を代入して A1=19-7d。。。(4)式

(4)式を(1)式に代入して、An=(n-18)d+19。。。(5)式

次にある項がゼロであることから(5)式＝０とおいて
ｄ＝－19/(n-18)。。。(6)式
dは正の整数（自然数）であり、nも正の整数（自然数）であるから
これよりn=17、d=19であることが決定します。
（n-18)は19の倍数でないとdは正の整数にならないから。

以下では、35項までの和が665になるか確認。。。

17項がゼロであることが決定したから、(1)式に
n=17,d=19代入して A1=-304が決定。
(1)式に、n=35、d=19とA1=-304を代入してA35=342.
よって(2)式に代入して、S35=（-304+342)*35/2＝665

公差d=19であっているみたいです。

もしかしてもうちょっと簡単な回答があるかもしれませんね。
（高校の数学ははるか昔にやったもので。。。）

お礼

とても迅速なご回答をありがとうございました。m(_ _)m
おかげ様で助かりました。

回答No.1

rei00

今公差を b とすると，公差が正整数の等差数列であるから，

　　a(n) - a(n-1) = b > 0

となる。

したがって，a(n) > a(n-1) であるから，ある項が０となるには，a(1) = 0 でなければいけない。

後は，等差数列の一般項の式や和の公式を使えば答えが出ると思います。

参考 URL （等差数列）の「等差数列の定義」や「等差数列の和」のペ－ジを参考にして頑張って下さい。

参考URL：

http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/print/suu/node4.html

お礼

アドバイスありがとうございました。リンク参考になりました。