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数学B 数列の問題 階差数列とシグマの使い方について知りたい
- 数学Bの数列の問題で、階差数列とシグマの使い方について質問です。
- 質問文章では、与えられた数列に対して階差数列を導入し、さらにその階差数列に対して第二階差をとる操作を行っています。
- 質問者は、シグマの上にn-1と書かれていることに疑問を抱いています。参考書にはシグマの上にはn-1しか書かれていないため、何か勘違いしているのではないかと思っています。
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#1です。 補足で書かれていた内容は、それでＯＫです。＾＾ ちなみに、「n-1」って a(1)から a(n)までの n個の数の「間隔の数」になっていますね。 小学生向けに言えば「植木算」です。 #2さんへの補足に書かれている「nは別物」ですが、 ・数列：a(n)の n番目と ・数列：b(n)の n番目 それぞれの n番目を表しているだけですよね。 先の回答でも書いたように、「別々に」考えているので、nも別物なんです。 もし、a(n)を 第１階差数列、第２階差数列を用いて表そうとすると添付のようになります。 このときは、ｉとｊというように文字を分けて書いていかないといけません。 まさに別物です。
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- yespanyong
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No.2です。 ＞別物だとしたら、nとかmとかいろいろ文字を変えますよね？ ごもっともです。 an＝a1＋Σ(i＝1～n-1)bi bm＝b1＋Σ(j＝1～m-1)cj というふうに、変数を使い分ける方が混乱を防げます。 そういう意味ではその参考書はちょっと不親切だと思います。
- yespanyong
- ベストアンサー率41% (200/478)
例えばa6を計算したい場合 an＝a1＋b1＋…＋b_n-1 で、n＝6とおけば a6＝a1＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5 ここまでは問題ないと思います。 これをさらにcnから求めようとする場合、 a6＝a1＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5 ＝a1 ＋b1 ＋b1＋c1 ＋b1＋c1＋c2 ＋b1＋c1＋c2＋c3 ＋b1＋c1＋c2＋c3＋c4 となるわけですが、ここで bn＝b1＋c1＋…＋c_n-1 との対比を見てみると、n＝6の場合は使われていないのに気づくと思います。 つまり、an＝…の時のnと bn＝…の時のnは別物なのです。
補足
すみません。 書き忘れてました。 ＞つまり、an＝…の時のnと bn＝…の時のnは別物なのです。 とあるのですが、別物なのに文字は同じなんですか? 別物だとしたら、nとかmとかいろいろ文字を変えますよね？ どういうことなんでしょうか?
- naniwacchi
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こんばんわ。 階差数列は何かとややこしいですね。 ＞しかし、第二階差の場合、その項数はn-2ではないのですか？ これは、n-1でいいのです。 b(n)＝ b(1)+ Σc(k) これは、ただ単に「数列：{ b(n) }の n番目」を考えているので、和の上限は n-1になるのです。 ・第２階差数列から第１階差数列の一般項を求めて、 ・次に、第１階差数列から元の一般項を求めている という手順を「別々に」実行しているので、このようになります。 それぞれの「一般項」を考えているというのがミソですね。
補足
皆様回答ありがとうございます。 つまり {an}と{bn}と{cn}のそれぞれの「n」はまったく別のものということなんですよね？ まず、{bn}の項数をnとみて、その階差数列{cn}はn-1 よって、b(n)＝ b(1)+ Σc(k) （シグマの上にはn-1） それで求めた{bn}の一般項に、今度は{an}の項数をnとみて、{bn}はn-1 よって、a(n)＝ a(1)+ Σb(k) （シグマの上にはn-1） ということでいいんですよね?
お礼
皆様回答ありがとうございました。