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なぜアキレスと亀は不思議でないのか？
- アキレスと亀のパラドックスについて独自の視点から質問します。
- 多くの人がアキレスと亀の問題を不思議とは思わず、それを説明するために無限級数を用いることにも抵抗感を持ちません。
- この問題は数学の問題だけでなく、社会学など他の分野でも考えられる可能性があります。皆さんの意見をお聞かせください。
- kireinahanabi
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- 数学・算数
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まあ我々は普段、日常言語を使って論理を組み立てるのですが、日常言語は曖昧な点が多いのでどうしても混乱が起きる場合が出てくる。 数学はそれを何とかするために一つ一つ約束事を決めて議論を進めていこうとする。この辺は多分数学者の人びとがさんざん苦労したことで、われわれは現状の結果をみているのですが、それでもその約束事がわれわれの通常の感覚からは乖離している、という事が出てくることがあるのは避けられないのだと思います。 まあ一応補足ですが、一般に「AならばB」の否定は「Aであって、かつBでない」です（AならばBでない、ではない）。ゼノンの論理の場合はAの部分が「亀がさっきまでいた地点にアキレスが付いた時には、亀はその先をいっている」という部分で、Bの部分が「アキレスはカメにおいつけない」になる。 ゼノンの主張は「Aが成り立つ、よってBである」という主張でした。これは質問者さんが書いてある通り3段論法と呼ばれるもので、つまり * Aが成り立つ * AならばB * （A、かつ（AならばB））なのでBが成り立つ という論法でした。よってこの論法を否定するには「Aならば B」の部分を否定すればよく、それはつまり「Aであって、かつBでない」世界があることを言えば良い（それが数学では証明になる）、という事です。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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＞どうやってゼノンの理屈を乗り越えて、アキレスが亀を追い越すことが説明できるのか ゼノンの論理はアキレスが亀に追いつくことに触れていないので乗り越える必要はないです。 ほっておけばよい。
>やっぱりこれはおなじひとだね。そりゃこんな人が何人もいないわなあ。 >ちょっと安心しました。 >もう迷惑だからこないでください。 ほらね、前に言った通りになる。言いだしたこと（質問本文）と全く違う方向に逃げることで、安心感を得ようとしてしまう。だからね、言ってあげたんだよ。同じような人をうんざりするほど相手にしてきたとね。そして、そういう人は最後は同じ反応になるともね。 で、お手上げということだね。まあ仕方ないだろう。今回のことと同じことを繰り返す人は進歩しない。知識すら得られないからなんだよ。知識がなくて、考えはする、いや考えたつもりになる。自分の好み通りに世の中ができている、とね。 さて、実数の切断だ。ある考え方だけ示しおいてあげようか。数直線上で両者が出発するのがマイナスの側からで、プラスの方向へ進むとしておこう。アキレスが亀に追いつくはずの位置（普通の速度差で計算すればよい）が、数直線上の0になるとしておこう。 ゼノンの論法では、可算無限なら0＞x、実無限なら0≧xが対応するということだよ。どちらもx＞0はなく、可算無限ではx＝0も存在しない。分かるね、これくらいは？ P.S. 0にした意図はね、例えば1だと面倒臭いことがでてくる可能性があるんだよ。0.999…って1の異表記だとかね。 質問には無関係ではあるんだが、おもねるべき人は見つかった？ 落ち着くためには必要なことだ。そうしたくなり、そうしてしまっても気にしなくていい。
>いやわからないから聞いてるんですけどね？そういう人に説明できて初めて本物なんですよ。 いや、少なくとも途中から主張になってるけど？ 最初から主張だとしても何ら問題なく解せてしまう。質問だったのなら、早々に解決してしまっているよ。 >ともかく、よくそんな偉そうなことがいえますね。昔の回答をみてみましたが、私はすっかり別の人と同一人物だと思っていましたよ。ずいぶん似たような人がいるもんですね。 それがどうかしたの？ 目下の件に集中できなくなった？ >だいたい、「確実な別解（速度差を使った単純計算）も同じ答なのだから矛盾は出ないよ、その極限値は別解によって存在が保証されているよ、と言っているのです。」なんてのは反則技だっていってるんですよ。 何が反則なのか言えなければ意味はないよ。あなたは「そういう気がする」ことの説明を他人に求めているわけだ、最初からね。そんなことは、あなた自身で行わなければならない。 >そんならはじめっからその確実な別解で答えがあることを指摘すればいいだけ、って言ってるのと同じじゃないか。そんなのはまったく説明になってない。 ゼノン自身、ゼノンに問われた古代人、みんな知っていることだよ。ゼノンが言ったのは、こう考えると常識的なことが説明できないのでは、ということだからね。 >いってる意味が分からないか？ 一読しただけでよく分かってしまうから、延々と長文連ねられるんだけどね。それすら分からない？ >いずれにしても、「ゼノンの論法が出てきた途端、アキレスが亀に追いつくかどうか不明といった趣旨のあなたの発言がちらほら見える（そう言っておいて、あわてて糊塗しているのが何とも）。」とかって、いったい、どこにそんなこと書いてるんですか？ 自分で書いたことも分からなくなっているのか。自分の限界を超える部分があったのだろうね。分からないことがあるなら、何がどう分からないか明確化して聞いて見なさい。質問として成立しそうなら、答えてくれる人もいるだろう。 >単にあなたが文章読解力がないだけでしょ？何があわてて糊塗ですか。それこそ笑いぐさですよ。何をどう糊塗したのか、どこでそんなことしたのか、指摘してみなさいよ。（いや、時間の無駄だからほんとにそんなことしなくていいけどね。） 同上。 >そんなこともちゃんと読めないくせに、偉そうに話ができるつもりになるなんておこがましいにもほどがありますよ。 同上。 で、実数の切断は分かったの？ 分からなかったの？ 義務教育で習う「＞」「＜」「≧」「≦」だけなんだけどね。別に実数の定義まで聞いているわけではないし、「追いつく」「追いつかない」に直結した話なんだがね。 なんかね、自分で質問したことから全力で逃げてるよね。特に思った通りと違うことを言われると。だからこの回答の冒頭で言っているんだよ。主張になってしまっているとね。質問なら、そうはならないものだよ。
補足
やっぱりこれはおなじひとだね。そりゃこんな人が何人もいないわなあ。 ちょっと安心しました。 もう迷惑だからこないでください。
- tmpname
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ああ、不正確なところがあった.. ゼノンの論理では、『『その時刻T（を含めた）より先を考えることはできない』』 というのは、 「ある時刻Tまでしかない世界」を考えると、その世界でゼノンの論理＋アキレスは亀に追いつかないは矛盾がないことが分かるので、その結論として、ゼノンの論理では、『『その時刻T（を含めた）より先を考えることはできない』』ことがわかるのであって、順序が逆です。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
要は、ゼノンの論理だけでは、その時刻T以降の世界を見ることが出来ないわけで、その事を「神の視点から」みると我々はゼノンの論理のもとで、「アキレスが亀を追い抜く」世界、「アキレスが亀に追いつけない」世界、両方を作ることが出来るのです。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
> 簡単にいうと、その「結論が出せるかどうかわからない」っていうことは > どう証明されるのでしょうか？ ああ、そこまでいくか... 一般には、「主張（公理）Aからある結論Bが出せるか分からない」『ということが分かっている（証明されている）』というのは、（主張（公理）Aを前提として）結論Bを肯定しても否定しても矛盾ない（何らかの）体系（モデル、世界）が得られる（ことが証明されている）ということ。No.22さんでいう所の「真偽が問えない」というのも、この意味です。で、こういうことの証明には「メタ的な」（なんというか、今言っている事を「上から眺める」）思考が必要になる で、「メタ的な」思考からくる結論としては、結局ゼノンの論理は、結局「（普通の世界で）ある時刻Tまで、アキレスは亀に追いつけない」ということと同じになる。これは、ゼノンの論理を「メタ的に」眺めないと出てこない。 で、そこでその「ある時刻Tまでしかない世界」を考えればアキレスは確かに（その世界では）亀に追いつけない。で、ゼノンの論理では、『『その時刻T（を含めた）より先を考えることはできない』』（というのは「メタ的に」眺めないとでてこない）のですから、その世界では「ゼノンの論理＋アキレスは亀に追いつかない」は矛盾はありません。で、実際の世界はその時刻T以降も続いていて、その世界を考えると、「ゼノンの論理＋アキレスは亀を追い抜く」も矛盾はない。 要は、「時間は無限に続いている」とかいう「メタ的な」情報がないと、ゼノンの論理だけでは「アキレスは亀を追い抜く」というのは出ない。こういったイメージでなんとなく分かるでしょうか。
補足
ありがとうございます。 それはとても面白いご指摘ですね。 ただ、もちろん私にもわかるように簡単にしていただいたためにおこったことかもしれませんが、仮にそうだとすると、メタ情報のない世界では、「アキレスが亀に追いつく」は、矛盾がありますよね？つまり真偽は確定していて、偽でしょ？ちがいます？他方、メタ情報がある世界では、。。。（こっちは本当は納得してないのでちょっとおいときますが） ともかく、メタの情報が有る無しによって、どっちにしても、追いつけるかどうかという命題の真偽値は一意的に決まるんじゃないんでしょうか？ だとすると、真偽値が定まらないってことは、メタ情報があるのかどうかがわからない世界、ってことですか？ そこまで考えて、もとにもどって、もう一度、#25の方のパラドックスの定式化を使わせていただくと、パラドックスが解けた状態というのは、改めてご指摘もふまえて考えると、どういうことを意味するんでしょうかね？ その解決にメタ情報を導入する、あるいは、メタ情報があるかないかがわからないという前提を導入するというのは禁じ手だと思うんですが、違うんでしょうかね？ これは通常の数学の証明問題と違うので、なにをもってパラドックスの「解決」とみなすかということをほんとは定義しないといけないような気もするんですが、結局パラドックスの解決というのは、何を持って解決なんでしょう？ すみませんね、いつまでもいろいろ聞いて。
んー、最初の回答でこう書いたんだけどね。 >そのことについて、ゼノンの論法通りに従って無限級数の和でも同じ答が出る、ただし極限値で、と数学は言っているわけです。無限級数の和という極限値が実在しているとは一言も言っていない。 これ、まだ分かってないよね？ 分かっていれば、直近のいくつかのあなたのコメントは出て来ようがない。実無限という、この件なら無限回の操作を終えることができるという考え方なら、追いつけると言ってしまえるが、あえてそれを採用せず控えめに言ったわけだよ（※可算無限と呼ばれることがある、本件なら操作方法がいくらでも続けられるという定義）。 で、だからこそ追いつくという事象は、 >確実な別解（速度差を使った単純計算）も同じ答なのだから矛盾は出ないよ、その極限値は別解によって存在が保証されているよ、と言っているのです。 と説明したわけなんだけどね。このことも分かっていない。ゼノンの論法が出てきた途端、アキレスが亀に追いつくかどうか不明といった趣旨のあなたの発言がちらほら見える（そう言っておいて、あわてて糊塗しているのが何とも）。 この点で分からなくなっているようだから、実数の切断ということを調べてごらんなさい。それはね、数直線をあるところで切り離したとする、といった話だ。数直線を0で切り離すことにしておこうか（※0を選んだのは意図がある。他の数、例えば1で切ると、ちょっとややこしいことがあったりするが、気にしないように）。 すると半直線が二つできるね。とりあえず半数直線と呼ぶことにしておこうか。そして、数直線上の数をxで表すことにしよう。切断したところは二つの半数直線でどうなっているか？ １）x＞0と0≧x ２）x≧0と0＞x ３）x＞0と0＞x ４）x≧0と0≧x 可能性としてこんなところかな、とりあえずだけど。３はx＝0が存在しなくなってしまう。４はx＝0が二つ存在してしまう。まあ、直感ではなんかマズそう。この二つは考えるにしても、後回しでよさそうだね。 じゃあ１か２どっちかだろう、と。どっちもあり得そうだし、どっちかが成立したら、もう一方は成立しないだろう。それも直感では分かる。 では１のように切り離したとして、x＞0という半直線切断された端を見てみよう。0ではない。0に限りなく近い何か。それって何？ そういう話。 それが何のことか分からないなら、直近のコメントのようなことを四の五の言わないほうがいい。まず勉強することだ。分からないものを分からないまま弄んでも、傍から見ればお笑い草でしかない。
補足
いやわからないから聞いてるんですけどね？そういう人に説明できて初めて本物なんですよ。 ともかく、よくそんな偉そうなことがいえますね。昔の回答をみてみましたが、私はすっかり別の人と同一人物だと思っていましたよ。ずいぶん似たような人がいるもんですね。 だいたい、「確実な別解（速度差を使った単純計算）も同じ答なのだから矛盾は出ないよ、その極限値は別解によって存在が保証されているよ、と言っているのです。」なんてのは反則技だっていってるんですよ。そんならはじめっからその確実な別解で答えがあることを指摘すればいいだけ、って言ってるのと同じじゃないか。そんなのはまったく説明になってない。 いってる意味が分からないか？ いずれにしても、「ゼノンの論法が出てきた途端、アキレスが亀に追いつくかどうか不明といった趣旨のあなたの発言がちらほら見える（そう言っておいて、あわてて糊塗しているのが何とも）。」とかって、いったい、どこにそんなこと書いてるんですか？単にあなたが文章読解力がないだけでしょ？何があわてて糊塗ですか。それこそ笑いぐさですよ。何をどう糊塗したのか、どこでそんなことしたのか、指摘してみなさいよ。（いや、時間の無駄だからほんとにそんなことしなくていいけどね。） そんなこともちゃんと読めないくせに、偉そうに話ができるつもりになるなんておこがましいにもほどがありますよ。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
念の為、繰り返しておきますと、 ゼノンの論理展開によって、アキレスが亀に追いつけない、という結論が出せる、というのが間違いである と言っても、 だからと言っても、ゼノンの論理展開によって、アキレスが亀に追いつける、という結論が出せるかどうかは分からないのです。
補足
ありがとうございます。そうなんですか？ もしそうなら、それは確かに勘違いだったかもしれません。 でも、そうすると、追いつけることを証明するより、もっとむずかしくないですか？それって、ほんとに、真偽値の判定不能な命題であることが証明されるってことですか？なんかほんとにゲーデルみたいになってきましたね。 それに、そんなことを証明していただいた方もいなかったような気がしますが。 簡単にいうと、その「結論が出せるかどうかわからない」っていうことはどう証明されるのでしょうか？
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
> ＃２５の方のパラドックスの定式化をご覧ください。もしこの方の主張を > 認めるなら、まさに、「ゼノンの論理展開によっても、アキレスは亀に > 追いつける」ということを説明して、初めてパラドックスが解けたことになるんです。 ああ、そこも勘違いしている。 「ゼノンの論理展開によれば、アキレスは亀に追いつけない。」が間違っている、というのは、「ゼノンの論理展開によっても、『アキレスは亀に追いつけない。』という結論はでない（出せない）」ということであって、「ゼノンの論理展開によっても、アキレスは亀に追いつける」ではない。 ゼノンの論理展開によって、アキレスが亀に追いつけない、という結論が出せる、というのが間違いである、といえれば良いのであって、（#25さんもこの意味で書いているはず）、それ以上の事をいう必要はないのです。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
No.15の補足を見るに 「だから私は、どうやってゼノンの理屈を乗り越えて、アキレスが亀を追い越すことが説明できるのか、その理由がわからない。ということのようです。」 それはゼノンの議論の方法では不可能です。つまり、ゼノンの方法では、結局「アキレスが亀を追い越すのか追い越せないのかは（ゼノンの方法では）全く分からない」という事しか分からない、これが結論です。それ以上の結論は、ゼノンの論法では出ないのです。 なので、きちんと「アキレスがカメより先行している時がある」ことを示すには、時刻tに両者がどこにいる、とかいうことを計算する等、「ゼノンの方法とは『別の議論を導入する』」以外にほかは無い、のです。
お礼
ごめんなさい。追いつくと、追いこすをちょっとごっちゃにして話をしてしまったかもしれませんね。
補足
ちょうどよかったです。＃２５の方のパラドックスの定式化をご覧ください。もしこの方の主張を認めるなら、まさに、「ゼノンの論理展開によっても、アキレスは亀に追いつける」ということを説明して、初めてパラドックスが解けたことになるんです。 で、まさにご指摘のように、それが簡単じゃないでしょ？だからこの問題はパラドックスなんです。で、なんでそれを不思議と思わない人ばかりなのかが、わからないというのが質問です。
お礼
【ありがとうございます。問題が解決しました！！！（みなさんにむけて）】 ありがとうございました。おかげでどこに問題があったのかはっきりしました。 まさにtmpnameさんのおっしゃることが数学では証明になる、しかし日常言語とは乖離している。その差が問題だったのでした！！！！ （tmpnameさんは、ときおり（それが数学では証明になる）とカッコ書きを挿入することを忘れませんでした。私がこうしてここに議論を整理できるようになったのも、その数学を客体化した視線からのご指摘をいただいたことによるところも大きいです。改めて、その知的姿勢に敬意を表しつつ、感謝したいと思います） 数学は混乱を避けるためにそういう約束事をした、だからそれはそれとして尊重しよう。しかし、日常言語には曖昧なところもあり混乱もしがちであるが、であるがゆえに、数学より幅広いことを指し示しえる。このため、日常言語の論理はきっちり数学の論理には翻訳されえない、互いの論理が一部乖離しているということが、厳然たる事実としてある、そのことを失念してはいけない。 そしてもちろん、我々は、日常言語は、先ずもって日常言語の論理をもとに使われているとして理解することから始める。 この「アキレスと亀のパラドックス」の「驚き」の源泉は、その日常言語の論法によるところがきわめて大きい。それが日常言語で、その論理をもって、説明されているからこそ、アキレスと亀は「驚き」のパラドックスなのであったということです。日常言語の論理が現実を写し取れていない、（それはある意味当然ですが、それにしても、）そのことを直接に我々に突きつけてくるからこそ、それは「驚き」なのでした。 ところが、それを別の論理構造を持つ数学に「翻訳」してしまうと、それは比較的容易な証明問題として定式化される。ただし、その定式化は、「驚き」の所在をまさに回避した形でおこなわれてしまっている。 だとすれば、別の理由を持って始められた作業ならそれでもいいが、「驚き」の源泉を探求しようとするのであれば、それは問題を解決したことにはならない。「禁じ手」を「禁じ手」と思わない考え方は、数学とは整合していても、日本語の論理を理解しているとはいえない。であるがゆえに、そうした数学的理解は、「アキレスと亀のパラドックス」をある「解釈」で理解しているとはいえても、「アキレスと亀のパラドックス」の「驚き」を解明したとは到底いえない。 具体的にはどういうことか？ それはすなわち、ごく簡単に言うと、ゼノンの議論は、三段論法と似たようなものではありますが、数学上の三段論法そのものではないということなのです。ゼノンは「AならばB」といったのではなく、「AゆえにB」といったのですから。 そうです！ ゼノンは「AならばB」ではなく、「AゆえにB」といったのでした！！！！ 日常用語としての「ゆえに」には、数学的「ならば」には含まれていない、しかしきわめて重要な、「論証関係」ともいうべき関係性が含意されています。「ならば」と「ゆえに」が（互いに意味の重なりがあるとはいえ、）完全互換可能でないことは、自分の言葉で試してみるだけでも簡単にわかるでしょう。 このため、「Aであって、かつBでない」世界が存在することを証明しただけでは、ゼノンのパラドックスを論駁したことにはならない。論証があり得るとすれば、それは、すくなくとも、「Aであって、かつBでない」世界があることを、「Bでないことと整合的であることが保証される仮定・概念・論理構造を追加していないこと」とともに論証したものでなくてはならないのです。 考えてもみてください、数学が存在することを証明した、「Aであって、かつBでない」世界とはなんでしょうか？それはつまり、「アキレスが亀の元の位置までたどり着いたときには、亀は必ずさらに前に進んでいる」ことと「アキレスが亀に追いつく」こととを同時に成立させる世界です。それはつまり、そう、この我々の世界です！つまりわれわれは、数学に論証してもらうまでもなく、両者が同時に成立する世界があることを了承しています。逆に言えば、数学がしたことは、この現実世界を数学的に記述したにすぎない。 そうした「現実」がここにはある。それはゼノンだって知っています。それをゼノンは、「ゆえに」という論理で、前者と後者を（後者を否定形にして）結びつけてしまった。その論理と現実の矛盾こそがパラドックスなのです。だから、現実を数学的に表現しただけでは証明にならないのは明らかなのです。 数学の言葉に直せば、「Aであって、かつBでない」世界の存在証明は、「AならばB」を否定するための正当な論証ではあっても、「AゆえにB」を否定する論証にはならないということです。 たとえば、「無限」を導入して、「アキレスは亀に本当は追いつくのだ」などといってみても、そこでの「無限」なる概念は、実際にアキレスが亀に追いつく世界像(モデル）と整合的であることがあらかじめ保証されているので、その概念に依拠した「証明」は、壮大なる循環論法、もしくはトートロジーに過ぎない。それは本当の意味での「驚き」の解明では決してないということなのでした。 ちなみに、少し調べていて、私のいいたいことをぴったり言ってくださっていらっしゃる方を見つけました！！もし、上に説明がわかりにくければ、「ゼノンの逆説について質問です。 「足の速いアキレスも、のろい亀には追いつけ...」というnaoe35frontさんの質問に対する、sarurusa2012000さんの回答をみてください。とてもわかりやすく、私のいいたいことを説明してくださっています。 もともとの私の質問(の一部）は、「なぜ、多くの人が、自信を持って、ああそれはね、無限級数で云々と説明し始めることに抵抗を感じないのか、」そこがまったくわかりません。ということでした。そして、そういう質問のしかたをしたにもかかわらず、たくさんの人が、その文章そのままの様子で、ああそれはね、と話をされたということ自体、私にはおどろくべき発見でした。 しかし、その質問にたいする答えもどうやらみえてきたようです。それは、おそらくは、この数学と日常言語の差に対する「感受性の欠如」と、（tmpnameさんのように（それが数学では証明になる）と留保をつけることのできる方はとてもまれで、）数学的に正しければ普遍的に正しいはずという「先入観」がひどく強固なものである、ということなのだとおもいます。 問題は一応解決しました。すごくすっきりしました。 長いことお付き合いくださいまして、ありがとうございました。 みなさま、「アキレスと亀」、本当に不思議ですね！ いや、びっくり！！！
補足
ありがとうございます。 頭がおかげでだいぶすっきりしました。 しばらく様子を見てから、お礼に書かせていただきます。（なお、そこでのお礼は、tmpnameさんのみならず、ここで書き込まれた多くの方々に向けて書く面がありますので、一部、tmpnameさんに対するお礼としては必ずしも適切でない表現もあるかもしれませんが、tmpnameさんには素直に感謝しておりますので、その点、誤解なきようお願いします。）