アキレスと亀の競争・・・パラドクス（逆説）

質問

哲学カテのファンなら知っている人も多いかと思います。私は最近知りました。
　ゼノンという人が提唱したとか。

　足の速いアキレスが、百メートル後からのろまな亀を追いかけるとします。アキレスが亀に追いつくためには、まず亀の最初のスタート地点に辿りつかねばなりませんが、そのときには、それにかかった時間の分だけ亀は前進しています。今度はその差の分だけアキレスは進まねばなりませんが、やはりまたその分だけ亀はさらに前進しています。こう考えていくと、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになるのです。（日本文芸社刊・図解世界の哲学・思想＝小須田健著）から引用しました。

　現実には亀はアキレスに追い抜かれてしまうわけですが、この理屈に従うと、アキレスは亀を追い抜くことは出来ないのです。
　どこか変ですよね。

　このパラドクスは、今日に至るまで解決されないままに残っています。と、この著者は言っています。

　そこで質問です。
　このパラドクスの「何か変」は哲学の世界では今でも解決されないままに残っているのでしょうか。
　それとも、いやいやもうすでにだれそれという人が解決した、という問題なのでしょうか。

　それからもし、未解決であるならば、我こそはという人の考えを聞かせてほしく思います。

　どこが変なのかを。

　実は私は、何が変なのか、気づいたのです。（たぶん当たっていると思います）
　でもその前に皆様の答えを聞いて見たいのです。

　よろしくお願いいたします。

回答No.1

来生 自然（@k_jinen） · ベストアンサー

哲学カテで最近のものでも
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4966862.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3207047.html
の二つおなじ問いかけがあります。

直近の問いかけに対し
>>>
可能無限と実無限という概念の差があります。
詳しくは
​http://blog.livedoor.jp/khideaki/archives/50464188.html​
​http://www6.plala.or.jp/swansong/002400kanntorunojitumugenn.html​
​http://www.ice.nuie.nagoya-u.ac.jp/~h003149b/questions/infinite.html​
などを参照願います。

要するに、数学の分野では（というよりも、半ば哲学的な領域で）、「本質的に解けた」ということにはなってはいないというのが正しいようです。
※「実無限の概念にてパラドックスを回避した」というのが正確な表現のようです。
<<<

と、答えましたが、要するに、概念的（思考的）に「（概念的な）時空間が無限分割可能」なのにも関わらず、「物理学的な対象（実際の時空間）が無限分割可能」かどうか、ということと関連しています。

量子力学的なレベルでは、無限分割不可能という概念があります。
>>>ループ重力量子理論
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%97%E9%87%8F%E5%AD%90%E9%87%8D%E5%8A%9B%E7%90%86%E8%AB%96
時空（時間と空間）にそれ以上の分割不可能な最小単位が存在することを記述する理論である。重力の古典論である一般相対性理論を量子化した量子重力理論の候補である。

時空は、本質的に連続で滑らかな値をとるものと考えられてきたが、この理論で時空は、原子における電子配置のように離散的な値をとるものと考えられている。

同じく量子重力理論の候補である超弦理論は、時空は背景場として最初からそこに存在するものとして定義しており、理論自身のダイナミクスにより決定されているわけではない。それに対しループ量子重力理論は、一般相対論と同様に理論自身が時空そのものを決定している。(背景独立性)
<<<

お礼

k_iinenさんの使う哲学用語は難しいので、時間をかけて学んでいきます。

　紹介していただいた参考URLのふたつ目に非常に関心の持てる回答がありました。

　apple-manさん（No.6）の回答です。

　やはり追いつくまでのことを時間を区切って説明しているだけなのですね。

　私なりの感想は、アキレスが亀に限りなく近づいた時点で、時間が止まっている。というものでした。

　映像的には、交差点に差し掛かったら赤信号で、亀とアキレスは同時に速度を落として止まった、と見えるのではないでしょうか。

　でもこの問題で、この点に気づいたときに、時間って、宇宙が存在しているという時間と、その中で物体が移動する時間と、二つ在るのかなぁなんて思いました。

　回答ありがとうございます。

補足

超、難しい説明なので直ぐに返事は出来そうにありません。

　先にowlsipさんに私の感想を述べて起きます。

　そのあとでこの回答を良く読んでみてから、ご返事いたします。

回答No.3

owlsjp

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4966862.html
この質問の、回答番号：No.2を見て、理解したつもりでいます．

　先ず設定として、アキレスが亀の２倍のスピードで移動できるとします。そして、スタート時点でのアキレスと亀の距離が１００メートルあるとします。

(1)アキレスが１００メートル進む間に亀は５０メートル進みます。そして、アキレスがもう１００メート進むと亀は５０メートル進み、追いつきます。これが普通の考え方。

(2)アキレスが10秒かかって１００メートル進む間に亀は５０メートル進みます。その時点での差は５０メートル。
　さらに、アキレスが5秒かかって５０メートル進む間に亀は２５メートル進みます。その時点での差は２５メートル。
　さらに、アキレスが2.5秒かかって２５メートル進む間に亀は12.5メートル進みます。その時点での差は12.5メートル。
　以降、時間を半分にし続けていけば、アキレスはいつまでたっても亀に追いつけないことになります。

◇この、「いつまでたっても」が、設問として矛盾している！つまり時間の制限がないと、錯覚させている。◇設問が矛盾していれば、答えは出ないのは、『当たり前』、逆に言えば、設問を矛盾させておいて、答えがでないようにしている。

　時間をどんどん半分にされ、時間を制限されていれば、追いつけないでしょう。

　質問が的確であれば、答えは自ずと引き出されるが、的確でなかったり、最初から矛盾していれば、答えを出すのは困難ですよね

　でも、これでは単純すぎますか？

お礼

owlsipさん。ぜひ、apple-manさんの回答見てください。

　きっと納得されると思います。

　回答ありがとうございました。

補足

着眼点は近いように思います。

　「時間を制限されていれば、追いつけない」

　此処ですよね。

回答No.2

来生 自然（@k_jinen）

実無限と可能無限を分かりやすく言えば、

●実無限：無限概念を、（全体像として）外側から捕らえることが可能。無限を外側から操作できる。
「アキレスは亀を追い抜くことができる」

●可能無限：無限概念を、内側（数える側）からしか、捉えられない。無限を追い続けるだけで、実際に捉えきることは不可能。
「アキレスは亀を追い抜くことができない」

となります。

さらに
◎（物理学的な対象はすべて）有限：仮想的には無限概念を扱えても、実際には、時空間は無限分割不可能で有限な最小単位がある。
「アキレスは亀を追い抜くことができる」

という考え方が加わります。

で、数学的（仮想的）な立場と物理学的（実際に）な立場の両方の視点を組み合わせると

１．物理学的（実際に）時空間を無限分割可能（≒可能無限）
１－１．数学的（仮想的）に実無限の立場
１－２．数学的（仮想的）に可能無限の立場
２．時空間は有限な単位以下に分割不可能
２－１．数学的（仮想的）に実無限の立場
２－２．数学的（仮想的）に可能無限の立場

の４パターンが生じ得ます。

通常は、数学的（仮想的）には「実無限」を選択したとしても、物理学的（実際）には「無限分割不可能」（「可能無限」ないし「有限」）のどちらかを選択する場合が多いでしょう。

したがって、１－１、すなわち、仮想的に実無限＋物理学的（実際に）可能無限という立場なら、理論的に「追い越せる」が、実際には「追い越せない」のでは？
というパラドックスが生じ得ます。

実のところ、物理学的（実際の）現象を取り扱う場合に、本来なら可能無限的に扱わなければならないところを、「実無限」を想定した理論で処理しているため、量子力学では「無限」の処理で困ってしまうわけです。（だからこそ、ループ重力量子力学などという概念が生まれううるわけです）

※物理学（とくに量子力学関連）では「繰り込み」という操作がパラドックス回避に用いられているそうです。
http://www.nikkei-science.com/page/magazine/0611/tomonaga.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B9%B0%E3%82%8A%E8%BE%BC%E3%81%BF