ゼノンの逆理について。

質問

有名なゼノンの逆理のひとつアキレスと亀の問題の解説のひとつに、「無限に足していくことはできるが最終的に和２を持つから追いつく」というものがありました。
つまり、「アキレスの1/2の速度を持つ亀を、アキレスが追い越すとき、その計算は1+1/2+1/4+・・・と無限に加算することとなるが、和２を持つので追いつく」ということです。
ここで数学が素人の私は、無限に続くのになんで和２を持つと証明できるの？と思ってしまいます。
ずーっと加算していっても、永遠に到達できない点が無限である所以ではないのでは？という（屁）理屈です。
1億桁計算しても、1京桁計算しても、１不可思議桁計算しても２ではないのなら、なぜ２と言えるのか？そもそも無限に計算することなんて無理なのでは？

どこを誤解してるのでしょう？

これが無限と言うものであるのであれば、他の対象を取り扱った無限、例えば熱力学第３法則（でしたっけ？）「有限回数の操作で絶対零度に到達することは不可能」というのは、無限回数の操作では到達できると言うことで、アキレスの問題でできるなら絶対零度だってと思ってしまいます。

私の誤解を一刀両断にしてくれる回答をお待ちしております。

回答No.7

happy_people · ベストアンサー

「限りなく透明に近いブルー」が「ブルー」か「無色」かというと、
Ｂ＝ブルーのインクの量
Ｗ＝水の量
としたときに、
「Ｗ→∞のときＢ／Ｗ→０（つまり無色）」とは言えるけど、
「Ｗ＝∞のときＢ／Ｗ＝０（つまり無色）」とは言えないのです。
「→∞」はＯＫだけど「＝∞」はＮＧなのです。

お礼

何度もご登場いただき恐縮です。
補足のほうもご覧ください。

補足

なるほど。
いまいち→の時と＝の時の本質的な違いがわからないですが、→の方は「極限に持っていったとき」と解釈するのだと思います。
極限は無色。でも水の量が無限大の時は無色ではない。私にはこの辺の解釈にも誤解がありそうです。
ありがとうございます。

回答No.12

happy_people

また来たよ！

今回は ＝ と → の違いね、

ｙ＝１/ｘ を
ｘ＞０ の範囲で考えたときに、ｙ＞０ とは言うけど ｙ≧０ とは言わないでしょ。
でも
ｘ→∞ のとき ｙ→０ と言えることは理解できますか？

「限りなく透明に近いブルー」で言えば
ｙ＞０ は「僅かとはいえ青みがある」ことを表し、
ｙ→０ は「究極的に無色透明になる」ことを表してます。

お礼

本当に何度もありがとうございました。
回答を締め切り、以降の勉学に励みます。

補足

わかりやすい喩えをありがとうございます。
一応この問題は納得がつきました。
皆さんのおかげです。

本も買って勉強してみます。

どうもありがとうございました。

回答No.11

motsuan

回答No.4への補足です。

>例えば数直線上に、２があって、「２に近いどんな数よりも２に近いものとして考えられる」数をＮとすると、
>そのＮと２の間には数があるように思えるのですが・・・。
>とすると、「２に近いどんな数よりも２に近いもの」という
>定義に反することになりますし、かといって数直線状のＮと２の間は
>稠密なので数がないことも言えないと思います。

数学で同じモノって何？ということをおっしゃっているのかなぁと思いました。
>そのＮと２の間には数があるように思えるのですが・・・。
というのはその数が「２に近いどんな数よりも２に近いもの」なので、
定義が同じなら同じもの（前提に矛盾している）という点で数学の上で
同じもの（あるいはありえないもの）なのだと思います。
（それで、数学の上では矛盾は生じないのではないでしょうか？
　一意性の証明ではこんな感じの議論がでてきて、
　とえば、最大値のようなものを考えてそれより大きいものを考えると
　それは最大値と同じになる
　（したがって最大値は一意に決まる、もちろん状況によりますが）
　というように常識的に考えていると思います。）
>稠密なので数がないことも言えないと思います。
ほとんどご自分で回答されていると思うのですが、
完備な空間を考えているので
稠密な空間の極限として２が有るのだと思います。

（ゼノンさんが考えられてるのは２未満の離散的な系で
　そのくせ、スピードというのを２を含めた系で考えているのが
　主張として変じゃないのかなぁというのが私の主張です。）

無限回の操作でしか定義できない数が気に食わないという立場をとると
無限回の操作を前提にしている考え方なので回答には程遠くなりますが、
無限回の反論と無限回の補足によって
矛盾は無限に葬り去られるのではないでしょうか（冗談です。）

教えて！gooの検索URLに0.999をいれて
http://oshiete1.goo.ne.jp/goo_search.php3?id=null&dummy=%A5%E1%A1%BC%A5%EB&kw=0.999
URLのリファレンスにしたら、この質問自体が引っかかるですね。勉強になりました。ありがとうございました。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
補足の方も合わせてご覧ください。

補足

♪とえば、最大値のようなものを考えてそれより大きいものを考えると
♪　それは最大値と同じになる
♪　（したがって最大値は一意に決まる、もちろん状況によりますが）
♪　というように常識的に考えていると思います。）

このような考え方があるとは！
新しい驚きです。ここに質問するたびに思うことですが、いかに自分が勉強していないがわかりました。
うーむ。「２に近いどんな数よりも２に近いもの」ですか・・・。
ここまでくると日本語の表記もかなり微妙になってきませんか？２と同一視してよいのに、「近い」とは・・・。

♪>稠密なので数がないことも言えないと思います。
♪ほとんどご自分で回答されていると思うのですが、
♪完備な空間を考えているので
♪稠密な空間の極限として２が有るのだと思います。

すみません。「稠密」という言葉の私の理解は、異なる２数の間には、必ず別の数があると言うくらいです。
その稠密な空間の極限として、２がある（もちろん今回motsuanさんが仰った説明を含めて）。なるほど。非常にわかりやすい回答でした。どうもありがとうございます。

回答No.10

stomachman

ちょっとだけ補足しておきます。
10進数で
x=9/10+9/100+9/1000+....
　= (10-1)/(10^1)+(10-1)/(10^2)+(10-1)/(10^3)+.....
というものを小数で表せば
x=0.999....
ですね。同様にして、
y=1/2+1/4+.....
= (2-1)/(2^1)+(2-1)/(2^2)+(2-1)/(2^3)+....
を２進数の小数で書きますと
y=0.111.....
ということになる。
ですから、ご質問は「２進数において0.111....は1と同じなのかどうか」という問題と等価です。かくて、１０進数か２進数か、という表現の違いを除けば、0.999...の議論と全く同じ話に帰着する訳です。

なお、不完全性定理はあんまり関係ないっす。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。

補足

えっと・・・すみません。

どうして2進数の事が出てきたのかわかりません。
補足なさっている内容はわかりやすく、納得いきました。
つまり、ｎ進数(n>1)で、(n-1)/(n^1)+(n-1)/(n^2)+(n-1)/(n^3)+・・・は１と等価であると言うことですよね？

私が自分で気づかないうちに、本質的なことを伺ったのかもしれません。お手数ですが、よろしければなぜ2進数のことを補足なさったのかを説明していただきたいのですが。

♪なお、不完全性定理はあんまり関係ないっす。

あ、昨日古本屋さんで以下の啓蒙書（ブルーバックス）を買ってきました。
「ゲーテル・不完全性定理」吉永良正
でも面白そうなので読んでみます。

回答No.9

hogehogeninja

任意の正の数ｘについて
２－ｘ＜＝無限和＜＝２
から、
無限和が２よりもほんのちょっともずれてはいけない、がなぜいえるかといいますと、無限和が２－aと表されたとき、ｘ＝a/2ととると不等式に矛盾するからです。

これが「ほんのちょっともずれてはいけない」ということです。
ここまでは実数の定義に依存しない議論なので、イコールと言ってないところがみそ（？）。

２と「２からほんのちょっともずれていない数」が等しいかどうかはその人の採用した定義によるわけですね。＾＾；

（というか、実数の定義があってそれに依存することは知っていたのですが、詳しい定義を知らなかったのでつっこんでいえませんでした。stmachmanさんどうもです＾＾　）

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。

補足

なるほど！
非常にわかりやすかったです。

♪無限和が２よりもほんのちょっともずれてはいけない、がなぜいえるかといいますと、無限和が２－aと表されたとき、ｘ＝a/2ととると不等式に矛盾す♪るからです。
♪これが「ほんのちょっともずれてはいけない」ということです。
♪ここまでは実数の定義に依存しない議論なので、イコールと言ってないところがみそ（？）。

なぜ「ほんのちょっともずれてはいけない」なんて回りくどい言い方をなさったのだろう？と思ってました。
実数の定義
http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339
を読んで、hogehogeninjaさんの回答と比べて本質的には同じと言うことを認識したいと思います。

回答No.8

stomachman

過去の質問で "無限ホテル"と"0.999"を検索すれば、この問題と関連する解説がいろいろ得られると思います。例えば↓

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339

お礼

ご回答どうもありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。

補足

参考URL拝見しました。

・・・難しいっス。
でもなんとなく、勉強したらいいターゲットができました。まずは、実数の扱いや不完全性定理に関する啓蒙書から読んで見ます。

stomachmanさんの解説No.9の
♪[5]まとめ
♪0.9999...... は無限個の集合の和という表現。1は有理数を使った表現。しかしてその実体は、無限個の有理数の集合Sです。
♪実体がある。だから、
♪『表現によらず、同じなのか違うのか、きちんと判断できる。』
♪これが「実数を定義した」という事、その本質です。

ここの部分、ナイスですね。しっかり理解するためにはまだまだ勉強しなければならないことがたくさんありますが。
無限を計算することはできる（1+1/2+1/4+1/8+・・・・=2）。だが無限に計算することはできない。
アキレスと亀の場合は前者で事足りるのに（２で追いつくのに）、やっぱり後者も意識してしまいます。

回答を閉めるのを忘れているわけではありませんのでもう少しあけておきます。

回答No.6

nozomi500

しょうもないことですが、
「限りなく透明に近いブルー」はブルーですよ。
「透明」は「無色」でないから、何色をした透明もあります。
透明に近い、は、濁りがなくて、透明に近い、ということになりますね。

お礼

アドバイスありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。

補足

そうなんですか。
でもよく考えると仰る通りかなと思います。

あの、では「限りなく無色に近いブルー（ブルーのインク一滴、純水無限大）」とお読み替えください。

全然しょうもなくないです。ご指摘ありがとうございます。

回答No.5

happy_people

＞無限回計算をするのに、なぜしゅるしゅると「２」と言う解に到達するのが理解できません。

「しゅるしゅる」って表現がいいなぁ、気に入った！
気に入ったので、しっかり答えてみよう。
（テキストだけで数式をどれだけ表現できるか不安だけど。。。）

先の回答に↓と書きました。
＞スタート1秒後：アキレスは亀のスタート位置、亀はその1m前
＞そこから0.5秒後：アキレスは亀のスタート位置＋1m、亀は0.5m前
＞そこから0.25秒後：アキレスは亀のスタート位置＋1.5m、亀は0.25m前

アキレスの位置を無視すれば、Ｎ行目の記述は「そこからA(N)秒後：亀はB(N)メートル前」と書くことになります。A(N)とB(N)はそれぞれ「1/2^(N-1)」（（２の（Ｎ－１）乗）分の１）です。

N→∞のときA(N)→0、B(N)→0は問題ないと思いますが、B(N)→0は「いつか追いつく」ことを表しています。あとは「有限時間で追いつくのか？」「じゃあいつ追いつくんだ？」が問題になるわけです。

S(N)＝A(1)+A(2)+・・・+A(N)
と定義したときに
N→∞のときS(N)→2というのが今回の「しゅるしゅる」の正体です。

S(N)の定義から、
S(N+1)＝{A(1)＋A(2)+・・・＋A(N)}＋A(N+1)
　　　＝S(N)＋A(N+1)
一方で、
A(N+1)＝A(N)/2ですから
S(N+1)＝A(1)＋{A(2)+A(3)+・・・+A(N)+A(N+1)}
　　　＝A(1)＋{A(1)/2+A(2)/2+・・・+A(N-1)/2+A(N)/2}
　　　＝A(1)＋{A(1)+A(2)+・・・+A(N-1)+A(N)}/2
　　　＝A(1)＋S(N)/2
　　　＝1＋S(N)/2
従って
S(N)+A(N+1)＝1＋S(N)/2
よって
S(N)=2-2A(N+1)
となります。
N→∞のときA(N+1)→0ですから、S(N)→2

上記により「しゅるしゅる」と２という解に到達するのです。

お礼

再度のご登場およびご回答ありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。

補足

うーむ・・・。
数式で書くとこんなにもエレガントに解が出ますね。それは「N→∞のときA(N)→0、B(N)→0」を受け入れてと言うことですが（受け入れるも何も無限回の計算で追いつくとが不思議だからたずねてるんじゃないの？と言うつっこみはなしです）。
と言うことはやはり私の無限の性質の考え方に勘違いがあったのかなと思います。hogehogeninjaさんの補足のところで書いた「限りなく透明に近いブルー」はもはやブルーではなく透明なのですね。でも・・・なんか完全に納得できないんですよね。

申し訳ございませんが、もうちょっと閉めずにあけさせてください。考える時間が足りません。
他の人の回答も拝見したいので。happy_peopleさんわがままをお許しください。

回答No.4

motsuan

ゼノンのパラドックスについては２に近いどんな数よりも２に近いものとして考えられるので２と同一視しても、２に近いどんな数よりも、２で計算した場合との誤差が小さくなるので、結局２と同一視してしまっても良いということなのだと思います（数の体系のなか＝計算上では同じ）。
　ただし、たとえば、ｘにこの値のようなものを考えると１/(x-2)の場合は-∞に発散するのに対して、２では不定になるので、順次アキレスの位置と亀の位置を追跡して、何らかの操作をした場合いつも正しいとは思いませんが、それはふつうは考えようとしている１/(x-2)のような関数の性質に過ぎません。私たちの世界がもし１/(x-2)のようなものを通してしか物体の運動を捉えられないのであれば、たぶん、ゼノンのパラドックスは物理学的な問題となると思いますが、速さが定義されているのであれば、そういう認識ではないということだと思います。つまり、１/(x-2)のような関数から逆に時刻（場所）２における速さは定義できないわけで、それを定義しているからには、その空間は滑らかでかつ有限の範囲で到達可能なものをゼノンは考えているに違いないと思います。

　熱力学の第3法則は絶対零度まで準静的、断熱的（エントロピーを増加させない）過程で変化させたとき、絶対零度でエントロピーがなくなることから、したがって、有限温度（エントロピーが有限の状態）とはうまく連絡しないことから、有限回の操作では到達できないと言う意味で、無限回の操作を無限に早く行うことができればいいのでしょうが、系の変化を非常に早くするということは、非常に高いエネルギーを系にあたえることになるので（不確定性原理）無理なのではないでしょうか？（これは物理的な説明です。）
数学的には１/(x-2)のようなものになっていて零度というのは、ちょっと通り過ぎれない＝零度での変化のスピードのようなものを規定できない状態になってしまっているのだと思います（ほんと？？)。
（この２つの説明は全く違うものだと思うのですが、同じ意味なのだろうか？と勝手に違うことかんがえてしまいました。）

下記URL（？）で教えて！goo上で同様の議論がされているのでとても参考になると思います（毎回盛り上がるようです）。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/goo_search.php3?id=null&dummy=%A5%E1%A1%BC%A5%EB&kw=0.999

お礼

ご回答どうもありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。

補足

む、難しいです。
すみません。私に理解力がないのが原因ですが。

♪２に近いどんな数よりも２に近いものとして考えられるので２と同一視しても、２に近いどんな数よりも、２で計算した場合との誤差が小さくなるので、♪結局２と同一視してしまっても良いということなのだと思います

例えば数直線上に、２があって、「２に近いどんな数よりも２に近いものとして考えられる」数をＮとすると、そのＮと２の間には数があるように思えるのですが・・・。とすると、「２に近いどんな数よりも２に近いもの」という定義に反することになりますし、かといって数直線状のＮと２の間は稠密なので数がないことも言えないと思います。うーむ。わからなくなってきました。

♪１/(x-2)のような関数から逆に時刻（場所）２における速さは定義できないわけで、それを定義しているからには、その空間は滑らかでかつ有限の範♪囲で到達可能なものをゼノンは考えているに違いないと思います。

なるほど。ゼノンの意図する舞台については考えていませんでした。その定義されている、場所２の速さであるとかは全てゼノンの定義の産物だとすれば、追いつけるのはもはや自明のこととして受け入れざるを得ませんね。それは実際に競争させたとき追い抜くのと同等の価値をもつものと思われます。

参考URLこれまた難しそうですが、がんばって読んでみます。

回答No.3

hogehogeninja

なぜ1+1/2+1/4+1/8+.....が２になるか、という疑問についてです。

まず、この計算をどうみるか、ですが、初めに２の1/2の１を足します。
そうすると２までは残り１です。
次にその1/2を足します。すると答えは 3/2 で２までのこり 1/2 です。
というように、２までの残りが
1 1/2 1/4 1/8....と半分ずつになるように足しています。

さて、
１）和は決して２を越えない
２）和は 1(=8/8) 3/2(=12/8) 7/4(=14/8) 15/8......と順に増加し、減少しない
３）どんな正の数ｘに対しても、十分な有限回数和を繰り返すと、和は２ーｘよりも大きくなる。
→なので、和は２になります。

３）がメインな部分で、たとえば、x=0.1　とすると、
　　　「何度もくりかえせば有限回で和は 1.9 を越える。」
x = 0.001 とすると、
　　　「何度もくり返せば有限回で和は 1.999 を越える」
ということが、ｘをいくつにしても必ず成り立つ、と言っています。
つまり、1.9 でも 1.99999でも、和を繰り返せば有限回数それを越える、といっています。

何回かの操作で 1.9 を越えるのだから、無限の和は少なくとも1.9より大きいですよね。
和は増え続けるので、有限でそこに達するのなら、無限の和は少なくとも1.9よりも大きいし、1.99999よりも大きいし、1.999999999999999 よりも大きいのです。

ではなぜ３）が成り立つかというと、初めに言ったように一回足し算をすると２までの残り（式ではｘ）が半分ずつになっていきます。
つまり、残りは 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 .... 0.0078125 ...... 0.0009765625 .... と際限なく小さくなっていきますが、ある桁までは有限回で到達できます。

結局、和は２よりも大きくはないし、２よりも小さい数（２ーｘ）を考えるとそれよりかは必ず大きいのです。
２－ｘ＜＝　無限和　＜＝　２
で、ｘについて際限なく小さい数を考えれば、無限和は２よりもほんのちょっともずれてはいけなことになります。

お礼

草木どころか菌類あたりまで眠りについてそうな寅二つ時に、ご回答どうもありがとうございます。この場で補足のほうも書きたいのですが、今から外出しなければなりません。あとでじっくり考えて補足をアップさせていただきます。

補足

うーむ。
結局私は無限と言うものの考え方や取り扱いを間違ってるから誤解が生じてるのでしょうか？

♪３）どんな正の数ｘに対しても、十分な有限回数和を繰り返すと、和は２ーｘよりも大きくなる。
♪２－ｘ＜＝　無限和　＜＝　２
♪で、ｘについて際限なく小さい数を考えれば、無限和は２よりもほんのちょっともずれてはいけなことになります。

３）については多分納得できたと思います。つまり、Ｘ＝0.1の場合でも５回目に1.9375となって２－Ｘを超えるように、Ｘがどんな場合でも成り立つと言うことですよね？
しかし、なぜほんのちょっともずれてはいけない（＝２である）ことが自明なのでしょうか？（←自明と言う言葉の使い方が間違っていたらすみません）
例えば限りなく透明に近いブルー（ブルーのインク一滴、純水無限大）はブルーだと思うのですが、この考え方だと透明に成りませんでしょうか？なぜブルーかと思う根拠は、最初の一滴があるからです。

回答No.2

yuukk29

えーと、半端な回答になってしまうのですけど。。。
等比級数1/2、1/4、1/8、・・・、(1/2)^∞の和は1になるからです。「収束」とした方がいいのかな。。。
タブン上の方に詳しい方が回答されると思うんですけど。

ゼノンのパラドックスについは結局、カメに追いつくまでの作業を細かく分けて考えているだけなんですよね。

お礼

回答ありがとうございます。
補足の方もご覧ください。

補足

そうねんですよね。

（１）．「追いつく」間での作業を無限に細かくできる
（２）．１より、計算で求めようとすれば無限回計算する必要がある。
（３）．無限回計算することは不可能である。
（４）．２および３より計算している間はいつまでも追いつけない。
（５）．しかし、終わることない計算のはず（無限に計算するのが不可能なのは、無限に数えられないのと同じ）なのに、「追い越す」ことができる。つまり計算している間は追いつけないのに、無限の彼方に（無限の計算がなされたとすると）追いついている。

いやはや。もしかして言葉の意味とかも関係してくるのでしょうか？