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ゼノンのパラドックスの解決
アキレウスと亀のパラドックスを 数学的に解決したという文章を読んだのですが、 数学が大嫌いで、高校時代の数学の授業の記憶が全く無い（授業はあったはずなのですが）笑）私には、 よく理解できませんでした（泣）。 どなたか、こんなお馬鹿な私に 分かりやすい言葉で教えてください。 以下ウィキペディアより引用 その1 アキレウスと亀の問題は、「考えをいくらでも続けることができる」ということから「いつまでたっても追いつけない」という結論を導いている箇所にトリックがある。有限の項を無限に集めた級数の和は有限におさまることがあり得る。アキレウスが前に亀のいた場所にたどりつくまでの時間は何度繰り返しても有限だが、これらを全て足し合わせてもやはり有限の時間しか経過しないのである。そしてそれはアキレウスが亀を追い越すのに要する時間である。 その2 飛ぶ矢飛ばずの問題はこうして説明される; どんどん時間を短く区切っていけば、それだけ矢の動く距離も短くなっていくが、しかし矢の位置の変化率、つまり移動する距離を時間で割った商は零には近付いて行かない。この零でない極限がその瞬間における矢の速度である。
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今までの回答にあるように無限という概念を有限でイメージしようとすると矛盾が生じるように感じられてしまいます。 たとえば0.9と1の間にはたくさんの数がありますが 0.9 0.99 0.999 ・・・ 0.99・・・9（9が100個） ・・・ 0.999・・・（9が無限に続く） となると、0.99・・・9（9が有限に（たとえば100個）続く、この場合の”・・・”は省略を表します）は、1にとても近いですが1とは違う数字ですが、最後の行は9が「無限に続く」（この場合の”・・・”は無限に続くことをあらわします）ので、これは1とは違う数ではなく1を別の形で表現したに過ぎないのです。（証明の例：1/3（0.3333・・・）×3＝1）1と違うように見えますが、0.999・・・の最後の9が決まれば（有限に繰り返す）0.999・・・は1に限りなく近い別の数字なんですが、無限に繰りかえすので最後の9は見つけることができません。 前置きが長くなりましたが、アキレスと亀の間の距離はどんどん短くなっていきますが、次の瞬間にはもう少し短くなるがまだ追いつかない、さらに次の瞬間にはさらに短くなるがまだ追いつかない、さらに・・・ 最後の・・・はさっきの0.999・・・と同じ意味です。アキレスは亀追いつくまでのアキレスの位置の選び方は無数にあるが、アキレスが「無限に」亀に近づいたとき＝アキレスは亀に追いついてしまっているのです。これを言い換えると「アキレスは亀に追いつくまでは、亀に追いつけない」となってパラドックスでも何でもないわけです。 普通にイメージする「限りなく」と数学的な意味での「無限」の間には大きな差がありますから、それでパラドックスになるのです。 わかりやすく説明するのは難しいですね。理解の助けになればいいのですが・・・。
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- anitasun
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問題を単純化するために、 極私的で都合のいい文章の読解をしてみました。 原文： □亀に遅れてアキレスが亀と同じ道を歩き、亀を抜こうとする。 ・アキレスが亀が今いる所まで辿り着いた時、亀はそれより少し先まで行っている。 ・アキレスがその地点まで行った時には、亀はまた更にその少し先まで行っている。 ・アキレスがその地点まで行った時には、亀はまた更にその少し先まで行っている。 ◎以上は無限に繰り返すことが出来るため、アキレスは永久に亀に追いつけないのである。 アレンジ文： □グラウンドの両端にアキレスと亀がいる。 亀はアキレスに向かって、アキレスは亀に向かって歩き、お互いすれ違おうと思う。 ・アキレスと亀との距離が半分まで縮まった時、まだお互いすれ違っていない。 ・アキレスと亀との距離が更にその半分まで縮まった時、まだお互いすれ違っていない。 ・アキレスと亀との距離が更にその半分まで縮まった時、まだお互いすれ違っていない。 ◎以上は無限に繰り返すことが出来るため、 アキレスは永久に亀とすれ違うことはできないのである。 アレンジ文その２： □トーテムポール向かってアキレスが歩き、トーテムポールを抜こうとする。 ・アキレスとトーテムポールとの距離が半分まで縮まった時、まだお互いすれ違っていない。 ・アキレスとトーテムポールとの距離が更にその半分まで縮まった時、まだお互いすれ違っていない。 ・アキレスとトーテムポールとの距離が更にその半分まで縮まった時、まだお互いすれ違っていない。 ◎以上は無限に繰り返すことが出来るため、 アキレスは永久にトーテムポールとすれ違うことはできないのである。 訳： □亀に遅れてアキレスが亀と同じ道を歩き、亀を抜こうとする。 ・亀が通過済みの点に立っても、亀はもっと先にいる。何せ通過済みなんだから当然である。 ・あ、ところで突然話は飛ぶが、どんな分割の仕方にせよ、 ある動作が完了するまでの時間は無限に分割することが出来る事に気が付いた。 ●●●さて、もしその無限個の点を意識しながら亀を抜こうとしたら（暗黙の一文）●●● ◎アキレスは永久に亀に追いつけないじゃないか。これはすごい発見だ。 ということではないかと考えています。
お礼
追い越すには無限の通過点を通り過ぎなければならず、 しかもそれは無限にあるのだから、いつまでたってもなくならない。だから追い越すことができない、ということなのですね。 まぁ、それはそうなんだけどさ、って感じですが。 詳細なご回答をありがとうございました。
- proto
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林晋さんの書かれた『パラドックス！』という本を読んだのですが ゼノンはよく知られるアキレスと亀のパラドックスのほかに３つ、全部で４つのパラドックスを考え出しています そのゼノンの４つのパラドックスの１つの解釈として ゼノンはこのパラドックスによって、時間と空間の分割(無限分割)について考えていると言うものがあります ゼノンは４つのパラドックスのの中で、時間と空間が無限分割可能である、とした場合、無限分割不可能である、とした場合の 両方の場合について矛盾を示しています これは、時間や空間を、物質と同じように行為として分割する対象としてみた場合の矛盾を示しているとも言えます そこら辺を意識してアキレスと亀のパラドックスを見ると、この話は数列の無限和の収束について言っているのではなく、時間と空間をどんどん短くして語っていくと、アキレスはいつまでも亀を追い越さない、と言っているのでは無いでしょうか （逆に言うと、時間、空間に最小単位があればいつかは追い越すとも言えます） しかし、そういう見方から、この１つ目のパラドックスに、答えを与えるのは簡単で 『足の速いアキレウスが亀を追いかけると、アキレウスが亀のいたA地点に到達すると亀はその間にB地点まで進んでいる。アキレウスがそのB地点に追い付くとまた亀はC地点まで進む。こうして亀はいつまでも先行する』 と語る人がいたとしましょう でも、それを聞いている人はとても物わかりが悪い、その話をきいた後で、 「で、亀がＣ地点に行った後はどうなるの？」 とききます 語り手は、仕方なく 『アキレスがＣ地点に行く頃には、亀は更に先のＤ地点へ…』 と語ります そして、物わかりの悪い聞き手は 「で、亀がＤ地点に行った後はどうなるの？」 ときくのです このように、聞き手が聞き返す限り、語り手の語りは終わらず、いつまで待っても、 『アキレスは亀に追いつけない』という結論は出ないのです 語り手はパラドックスによって、アキレスと亀の競争を 語り終えたつもりが、実はまだ語り終わっては居ないのです しかもその話はいつでもアキレスが亀に追いつく前の話で、決して追い抜いた後の話をすることは出来ないのです と、答えの一つを書きましたが、パラドックスはあと３つもある上に、それぞれに数学的、物理学的、哲学的な解が与えられるので とても書き尽くせません 自分が読んだパラドックスの本の中でも この『パラドックス！』は内容も詳しくて、よかったです、機会があれば読んで見て下さい
お礼
>これは、時間や空間を、物質と同じように行為として分割する対象としてみた場合の矛盾を示しているとも言えます そうですね、あるところで視点（？）がすりかえられているような気がしていました。 ご紹介の本は、ぜひ本屋にいって内容を確認したいです。この私に読めるようならば、絶対に買います。 回答ありがとうございました。
- scale--free
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ゼノンのパラドックスと本質的に同じ例を挙げて見ます。 円周率πは十進数表示すると、 ３．１４１２‥‥ と無限に続きます。 小数n桁目かで打ち切った数をa(n)としたならば、 a(1)<a(2)< ‥‥ < a(n) < ‥‥ となり、だんだん大きくなっていきます。 だからといって、πは存在しないのでしょうか？ 小学校を卒業したならば、円周率πという数が存在しないという人は誰一人としていないでしょう。 このような混乱は、無限という概念を無理に有限の概念で扱おうとすることから生じるのです。 今挙げた例をどのようにして解決したらよいでしょう？
お礼
無限に続くのだから、どこまで続くのかを考えてはいけないということでしょうか？ πの話は、無限に続くけど、とりあえずそれをπということにしている、と考えればいいのでしょうか。 うまくまとまりませんが。 ありがとうございました。
- takomari
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細かく説明されているサイトです。 無限級数の和が有限になるということをいろいろな例をあげて説明されています。 http://www6.plala.or.jp/swansong/000007tetugakumokuji.html
お礼
大変濃いページでした。 丁寧な説明でした。 ちょっと時間がかかりましたが。 また、ベルグソンに言及した箇所は、難解でしたけど、 また違ったアプローチをしていて興味深かったです。 ありがとうございました。
- shishishishi
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「ゼノンの逆理」は、言い換えれば有限の値を無限回分割することができる、ということです。 例えば、飛んでいる矢と的の有限な距離を、理屈の上では無限回に分割できると言っているだけで、何も問題ないわけです。
お礼
おそくなりましてすみません。 回答ありがとうございました。 有限と無限の概念を考え直してみる必要がありそうです。 有限の中に無限があると考えると、亀のほうは分かっちゃいますね。
お礼
>アキレスは亀に追いつくまでは、亀に追いつけない この表現はいいですね。 追いつくまでの距離の中には、追いつけない瞬間が無限にある、ということですか。 当たり前だー（笑）。 ゼノンの言い方に飛躍があるから、 パラドックスに聞こえるんですかね。 >わかりやすく説明するのは難しいですね。理解の助けになればいいのですが・・・。 わかりやすかったですよ！ ありがとうございました。