軌跡の問題

質問

点(3,0)を通る直線と円(χ－１)^2＋ｙ^2＝１が異なる2点Ａ，Ｂで交わるとき、
線分ＡＢの中点Ｍの軌跡を求めよ。

解答お願いします

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

点(3,0)を通る直線は 傾きをmと置くと　y=m(x-3) と表せます。
　これを円の方程式に代入してxの2次方程式 (m^2+1)x^2-2(3m^2+1)x+9m^2=0 を得ます。
　この2次方程式の判別式を4で割ったものをDと置けば
　　D=(3m^2+1)^2-9m^2(m^2+1)>0　∴-1/√3 < m < 1/√3　　　・・・・・・・・・・(1)

　線分ABの中点M(X,Y)と置きますと、Xは2次方程式の解と係数の関係から
　　X=(3m^2+1)/(m^2+1) =3-2/(m^2+1)　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・(2)
　また点Mは直線 y=m(x-3) 上の点なので、
　　Y=2m/(m^2+1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・(3)
　Y=m(X-3) から　m≠0 のとき　m=Y/(X-3)
　これを式(2)に代入して整理すると
　　(X-2)^2+Y^2=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・☆
　m=0 のときX=1,Y=0 で式☆を満足させます。
　-1/√3 < m < 1/√3　は 1 ≦ X<3/2 に対応しますので、求める軌跡は

　　点(2,0を中心とした半径1の円周(X-2)^2+Y^2=1 上で 1≦X<3/2 の範囲になります。

お礼

ありがとうございます

よくわかりました。

テストを頑張ってきます