数学Ⅱについて質問です。

質問

a,b,c,dを自然数とし、a≧cとする。
m=2^a3^b、n=2^c3^dについて、m,nの正の約数の個数がそれぞれ80,72で、mとnの正の公約数の個数が45である。
このときa,b,c,dを求めよ。

分かりやすく教えていただければと思います。

回答No.2

bgm38489

仮に、a,b,c,dが2,3,4,5だったら、約数の個数、公約数の個数はどうなるか？それを考えたら、解き方が見えてくるはずです。

回答No.1

Kules

m=2^a3^bと素因数分解された時、正の約数の個数は(a+1)*(b+1)で表されるのはご存知ですか？それで式が２つできます。
次に正の最大公約数ですが、例えば72=2^3*3^2と108=2^2*3^3で考えると公約数は36=2^2*3^2となるように、それぞれの素因数で次数の低いもの同士の掛け算となります。公約数は最大公約数の約数なので、その個数から式がもう１個できます。あとはabcdが自然数であることとa≧cから答えをひねりだしてください。