重積分の問題です。

質問

重積分の問題です。
よろしくお願いします。
xy平面上の円(x-a)^2+y^2=a^2の周上の各点を通るz軸に平行な直線によって作られる直円柱がある。上半球x^2+y^2+z^2=4a^2,z>=0の内部にあるこの直円柱と、
円錐Ｃ：z<=h-(h√(x^2+y^2))/(2a),z>=0
この直円柱と円錐の共通部分の体積

２つの体積まではもとまりましたが、共通部分の体積の求め方が全くわかりません。
直円柱の体積は(8(3π-4)a^3)/9
円錐の体積は(4πa^2h)/3

回答No.1

Mr_Holland

次のように考えられてはいかがでしょうか。

０）　共通部分の体積を求める場合、個々の体積が分かっても求まりません。
　　共通部分の形状を見極めて、積分範囲をどのように分けるか検討します。

１）　座標変換（直交座標系→円柱座標系）
　　共通部分の座標に対し、次の変換を施す。
　　　r^2=x^2+y^2、tanθ＝y/x、　z＝z

　　円柱：　　r＝2a cosθ
　　上半球：　r^2+z^2≦4a^2、z≧0
　　円錐：　　z≦h{1-r/(2a)}、z≧0

２）　対称性の検討
　　共通部分は、ｘ軸に対して対称なので、ｙ≧０　部分の体積を求め、後で２倍する。

３）　共通部分の形状
　・共通部分の底面は、円(x-a)^2+y^2≦a^2

　・点(r,θ,0)における高さを考えるために、r-z平面での上半球表面と円錐表面の様子を見る。

　　ｈ≦２ａのとき　　円錐は上半球内に含まれる（上半球より円錐の方が高さが低い）
　　　　　　　　　　⇒　点(r,θ,0)における高さは　z＝h{1-r/(2a)}　になる。

　　ｈ≧２ａのとき　　r＝2a(h^2-4a^2)/(h^2+4a^2)≡2acosα　で上半球表面と円錐表面が交わる。
　　　　　　　　　　　0≦r≦2a cosα　で　点(r,θ,0)における高さは　z＝√(4a^2-r^2)
　　　　　　　　　　　2a cosα≦r≦2a cosθ　で　点(r,θ,0)における高さは　z＝h{1-r/(2a)}　

　　　　ただし、円柱内の点におけるｒの範囲は　０≦ｒ≦2a cosθ　と制限されるので、さらに　θの値による場合分けが必要。
　　　　（α≦θ≦π/2　のとき、円柱内の点(r,θ,0)における高さは常に上半球表面になるため。）

　　　０≦θ≦α、0≦r≦2a cosα　のとき　　　　　高さ：z＝√(4a^2-r^2)
　　　０≦θ≦α、2a cosα≦r≦2a cosθ　のとき　高さ：z＝h{1-r/(2a)}　
　　　α≦θ≦π/2　のとき　　　　　　　　　　　高さ：z＝√(4a^2-r^2)

　　（ちなみに、ここから、円錐によって切られる部分は、０≦θ≦α、2a cosα≦r≦2a cosθ　だということが分かります。）

４）　数式にまとめる。
　　求める体積をＶとすると、次のように表される。

４ａ）　ｈ≦２ａのとき
　　Ｖ＝2∫[0→π/2] dθ ∫[0→2a cosθ] rdr h{1-r/(2a)}
　　　＝(π-16/9)a^2 h　　（計算ミスがあるかもしれません。）

４ｂ）　ｈ≧２ａのとき
　　Ｖ＝2∫[0→α] dθ ∫[0→2a cosα] rdr √(4a^2-r^2)
　　　　＋2∫[0→α] dθ ∫[2a cosα→2a cosθ] rdr h{1-r/(2a)}
　　　　＋2∫[α→π/2] dθ ∫[0→2a cosθ] rdr √(4a^2-r^2)

　あるいは、先に直円柱の体積が求められています（検算していませんが）ので、そこから円錐によって削られる部分の体積を引いても求められます。
　その場合は、次式で得られると思います。

　　Ｖ＝(8(3π-4)a^3)/9　－2∫[0→α] dθ ∫[2a cosα→2a cosθ] rdr [√(4a^2-r^2)-h{1-r/(2a)}]