体積の求め方、分からず困ってます！

質問

重積分における体積を求める問題で、わからず困っています。ご協力、宜しくお願いします！

●球x^2+y^2+z^2<12と√3>√(x^2+y^2)の共通部分vの体積|v|を求めよ。

●円柱面x^2+y^2=axの円柱面x^2+z^2=a^2の内部かつy>0にある部分sに対してグラフ表示し、面積要素dsを求めた上でのsの面積|s|をもとめよ。aは定数とする

いろいろ調べてもわからず、、宜しくお願いします！

回答No.2

info22_

後半)
Sの曲面は添付図の紺色格子の曲面のグラフになります。
重積分をxz座標面で行うため、y軸方向を上向きに回転してあります。

y^2=ax-x^2
y=f(x,z)=√(ax-x^2)
fz=0,fx=((a/2)-x)/√(ax-x^2)

dS=√(1+fx^2+fz^2)dxdz
=(a/2)/√(ax-x^2)dxdz

D={(x,z)|x^2+z^2≦a^2}

S=∫∫[D](a/2)/√(ax-x^2)dxdz
=2∫[0,a] (a/2)/√(ax-x^2)dx∫[0,√(a^2-x^2)] dz
=a∫[0,a] √(a^2-x^2)/√(ax-x^2)dx
x=atとおくと
S=(a^2)∫[0,1] √(1-t^2)/√(t-t^2)dt
= ... (途中計算はやってみて下さい。)
={√2+log(1+√2)}a^2

となります。

回答No.1

info22_

取りあえず
前半）

V=8∫[x:0,√3]∫[y:0,√(3-x^2)]√(12-x^2+y^2)dxdy
x=rcosθ,y=rsinθと変数変換すると
√(12-x^2-y^2)dxdy=√(12-r^2) rdrdt
D={(x,y,z)|3>x^2+y^2,z^2<12-x^2-y^2}
Dを対称性を考慮して8分割しx≧0,y≧0,z≧0の領域をD'とすると
D'={(x,y,z)|3>x^2+y^2,x^2+y^2+z^2<12,x≧0,y≧0,z≧0}
⇒E={(r,t)|0≦r≦√3,0≦θ≦π/2}
V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,√3] r√(12-r^2)dr
=8(π/2)[-(1/3)(12-r^2)^(3/2)][0,√3]
=(4π/3)[12^(3/2)-(12-3)^(3/2)]
=(4π/3)(24√3-27)
=4π(8√3-9)