表面積一定の直方体の体積の考え方

質問

表面積一定の直方体の体積が最大にとなる
条件について考えてます。
横をx 縦をy 高さをz
とおくときx=y=zとなることは直感でわかるのですが
これを証明するにはどうしたらいいのでしょうか？

もしくわこの証明が載ってるHPなどありましたら紹介
していただけると嬉しいです。
どうか宜しくお願いいたします。

回答No.1

elttac · ベストアンサー

直方体の表面積は，
　　2(xy ＋ yz ＋ zx)
です。一方，体積は，
　　xyz
です。ここで，相加・相乗平均の関係
　　a + b + c ≧ 3・(abc)^(1 ／ 3)
を使うと，
　　2(xy ＋ yz ＋ zx) ≧ 6・(xyz)^(2 ／ 3)
等号成立は x ＝ y ＝ z です。ここで，左辺が一定 S という条件を使えば，
　　S ／ 6 ≧ (xyz)^(2 ／ 3)
両辺を 2 分の 3 乗すれば，
　　(S ／ 6)^(3 ／ 2) ≧ xyz
等号成立条件は変わりませんから，体積 xyz は，x ＝ y ＝ z で最大になります。

お礼

すいません。ただx＋y＋z
を２乗したんですね。
こんなに詳しく解説していただきありがとうございました。感謝の念でいっぱいです^^

補足

2(xy ＋ yz ＋ zx) ≧ 6・(xyz)^(2 ／ 3)
この式で左辺はxy＋yz＋zx　これが常識で言うと
xy=a yz=b zx=cに対応すわけですが右辺では
この対応とは違いますよね？
x=a y=b Z-cと対応されてます。
これでもいいのでしょうか？
あほらしい質問でごめんなさいm(_ _)m