縦横高さを足したものが一定の立方体の体積

質問

縦横を足したものが一定の長方形で面積が最大になるのは正方形であるというのはy=x(a-x)の導関数a-2xが0になることからわかるのですが、縦横高さが一定のものの体積の場合にはy=x^2(a-2x)の導関数y=2ax-6x^2からa/3の時に最大となるとしてよいのでしょうか。体積の場合には縦横の長さが等しいとする前提が正しいという前提を置かないと答えが出せないように思われるのですが・・・

回答No.1

de_tteiu · ベストアンサー

縦横高さを足した長さ＝Ｌとします

まず一辺（例えば縦）を固定します（tとおきます）
すると横と高さの和はＬ-tとなります

直方体の体積は縦×横×高さですから、横×高さが最大になる時を考えて横＝高さ＝(L-t)/2の時になります

これで縦を固定した時の直方体の最大の体積がtの関数として出てきますから、それを今度はtを動かして最大にする所を見つければ解けます

ちなみに立方体というのは縦＝横＝高さのものですよ

お礼

直方体の体積を考えるとき、正方形のことを知らないでも大丈夫でしょうか。御回答ならびにご叱正ありがとうございました。

回答No.6

kabaokaba

相加平均・相乗平均そのものでしょう

縦，横，高さをそれぞれa,b,c (すべて正)とおけば
(a+b+c)/3 >= (abc)^{1/3}
a+b+c=Lで一定だったら，体積V=abcだから
L/3 >= V^{1/3}
等号成立は a=b=c のとき
よって，
a=b=c のとき（すなわち立方体のとき）
体積は (L/3)^3 = a^3 で最大

＃図形を四角形に限らず，
＃「周囲の長さが一定で面積最大の図形は？」となると
＃答えは円．いわゆる「等周問題」というやつで，
＃数学的にはきわめて深遠な問題を内包しています．
＃逆に「面積一定で周囲の長さが最大な図形は？」となると
＃これまた深遠な問題になります．

お礼

基礎に戻って勉強しなおしたいと思います。ご教示ありがとうございました。

回答No.5

jamf0421

縦、横、高さをa, b, cとします。当然a>0, b>0, c>0です。合計をLとすれば
L=a+b+c...(1)
これより
c=L-a-b...(1)'
立体の体積は
V=abc...(2)
(2)に(1)'を使って
V=ab(L-a-b)=Lab-a^2b-ab^2...(3)
a, bの２変数の関数Vの極大極小の問題となります。
∂V/∂a=Lb-2ab-b^2...(4)
∂V/∂b=La-a^2-2ab...(5)
(4)=0, (5)=0より
L-2a-b=0...(4)'
L-a-2b=0...(5)'
となります。(4)'=(5)'より
2a+b=a+2b
すなわち
a=bとなります。その結果L=2a+b=3aでc=L-a-b=L-2a=aとなります。すなわち全て等しいときにVは最大となります。

直感的にはこれでよさそうですが、本当は二変数関数の停留点を求めただけで、最大か最小か鞍点か分かりません。（１変数の時もf'(x)=0だけなら同じ問題がありますね。）
∂^2V/∂a^2=Vaa=-2b=-2a...(6)
∂^2V/∂b^2=Vbb=-2a...(7)
∂^2V/∂b∂a=Vba=∂^2V/∂a∂b=Vab=L-2a-2b=-a...(8)
まず
Vaa<0...(9)
がわかります。
(Vab)^2-Vaa*Vbb=a^2-4a^2=-3a^2<0...(10)
ですので、(9)と(10)より上記で得た停留点は最大値です。

お礼

今までぼんやりと過ごしていました。勉強させていただきます。ありがとうございました。

回答No.4

ykskhgaki

縦x, 横y, 高さzの総和 = L する。
x + y + z = L, また、体積 V = xyz
y = ax (a は任意の数) と置けば、z = L - (1+a)x

V = ax^2{L - (1+a)x}
V' = 0 より
x = 2L/{3(a+1)} のとき体積が最大となる。
このとき、z = L/3, y = 2aL/{3(a+1)} となる。
本来、x と y は入れ替えても同じはずだから a = 1。

あるいは、
V = xyz = 4L^3・a/(a+1)^2/27 を a で微分して
dV/da = 0 からも a = 1 が得られます。

お礼

こういう方法もあることを教えていただいてありがとうございました。勉強させていただきます。

回答No.3

info22

＞体積の場合には縦横の長さが等しいとする前提が正しいという前提を置かないと答えが出せないように思われるのですが・・・
そんなことはありません。
#2さんのアドバイスのように
縦、横、高さの和がa(>0)一定として
縦、横、高さをx(>0),y(>0),(a-x-y)(>0)とおいて
V=V(x,y)=xy(a-x-y)とおいて
a>0,x>0,y>0の元で
∂V/∂x=0,∂V/∂y=0
を連立にしてVを最大にする(x,y)を求めれば
(x,y)=(a/3,a/3)
が得られますね。
残りの辺も
a-x-y=a/3
となりますので縦横高さがa/3の立方体になることが分かるでしょう。

別解として
縦、横、高さをx,y,z（全て＞0）とおいて
x+y+z=a(>0)が一定とおいて
V=xyz=xy(a-x-y)=V(x,y)とおいて
x>0,y>0,z>0,x+y+z=a>0の元で
∂V/∂x=0,∂V/∂y=0
つまり
y(a-y-2x)=y(z-x)=0,x(a-x-2y)=x(z-y)=0
およびx+y+z=a
を連立にしてVを最大にする(x,y,z)を求めれば
(x,y,z)=(a/3,a/3,a/3)
が得られますね。
このとき V=(a/3)^3
となります。

計算が正しいか、自分でフォローして確認してみてください。

お礼

勉強させていただきます。ご丁寧にご教示いただきありがとうございました。

回答No.2

noname#101087

>縦横を足したものが一定の長方形で面積が最大になるのは正方形であるというのはy=x(a-x)の導関数a-2xが0 ......

同じ流儀でいうと、
　縦横高さを足したものが一定の立方体の体積v は、v = x*y*(a-x-y)
かな？

お礼

御示唆をいただきありがとうございました。