定積分による面積一定

質問

「２つの３次関数C:ｙ＝ｘ＾３－３ｘ、D:ｘ＾３－３ｘ－２についてCの接線とDとで囲まれた図形の面積は一定だということについて証明せよ」という問題を出されたのですが、一定を求める前に囲まれないと思うのですが、どうでしょうか？
こちらの計算ミスなのでしょうか？

回答No.4

oyaoya65 · ベストアンサー

＞問題から、囲まれた面積は一定になりますか？
＞a＝1/2^(1/3)とa=１を代入して解いたら、解が異なっているので、一定でないという風に判断していいでしょうか？

2つのケースで囲まれた面積が一致しませんので、一定とはいえませんね。

問題の作成者に本当に一定なのか確認して見てください。多分、囲む範囲か、問題の一定ということ自体が間違っている可能性がありますね。

回答No.3

oyaoya65

#2です。
＞ｘ＾３－３ａ＾２ｘ＋２（ａ＾３－１）＝０◆
＞これからですか？

そうです。
接線とDが接するとき
１実根pと重根qをもち
左辺＝(x-p)(x-q)^2▲
とかけます。
◆と▲の展開式の係数を比較して連立方程式をたて、実根の組（a,p,q）を求めるとaが1/2^(1/3)と出てきます。
このとき、p=2^(2/3),q=-aとなります。
なお、他の(a,p,q)の2組はいずれも虚数になり実根の組は上記の1組だけです。
この接点のx座標のaをパラメータにC,D,接線のグラフを描くと確認できますが、このa＝1/2^(1/3)を境に接線とDのA#2で書いたように交点の個数が変わります。

お礼

ありがとうございます。
問題から、囲まれた面積は一定になりますか？
a＝1/2^(1/3)とa=１を代入して解いたら、解が異なっているので、一定でないという風に判断していいでしょうか？

回答No.2

oyaoya65

＞一定を求める前に囲まれないと思うのですが、どうでしょうか？

接線の接点のx座標の位置x=aにより、囲まれる図形ができる場合とできない場合があります。

接線の接点のx座標をaとするとき
a＝1/2^(1/3)≒0.7937005260で
接線とDが接し(２点で交わり)囲まれる図形が１つできます。

a＞1/2^(1/3)で
接線とDが３点で交わり囲まれる領域の図形が２つできます。つまり、接線の上にある部分の図形と下にある部分の図形に分かれます。

a＜1/2^(1/3)で
接線とDが１点でのみ交わり囲まれる図形の領域は存在しません。

お礼

回答ありがとうございます。
a＝1/2^(1/3)≒0.7937005260とは、どこからきたのでしょうか？
接線とDとの交点を求める式は、
ｘ＾３－３ｘ－２＝（３ａ＾２－３）ｘ－２ａ＾３ですよね。
整理して
ｘ＾３－３ａ＾２ｘ＋２（ａ＾３－１）＝０
これからですか？

回答No.1

snobbery

この問題は囲む条件も求める事を要求してるのですかね？
囲まれますよ。
答えを全部答えるのはここのルールに反するので、ヒントを。
Ｃのグラフをy軸負の方向に２ずらすとＤのグラフになります。

Ｃは、極大(-1,2)で極小(1,-2)のグラフに
Ｄは、極大(-1,0)で極小(1,-4)のグラフになりますよね。

例えばＣの接点(1,-2)における接線は明らかに囲みます。