球体と放物線に囲まれる曲面積体積を求める問題で・・

質問

放物面S1:z=x^2+y^2と球面S2:x^2+y^2+z^2=2を考える。
(1)S1とS2によって囲まれる部分の体積を求めよ。
(2)S1がS2によって切り取られる部分の曲面積を求めよ。
(3)S2がS1によって切り取られる部分(上の部分)の曲面積を求めよ。

という問題がわかりません。　できれば解説を書いてもらえると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

放物面S1:z=x^2+y^2　　...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=2　...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=z
(r≧0,-π≦φ≦π,z≧0)
とおくと
r=√(x^2+y^2) ...(C)

(A),(B),(C)より
r^2+r^4-2=0
(r^2+2)(r^2-1)=(r-1)(r+1)(r^2+2)=0
r≧0より　r=1

(1)
回転体の体積公式を使って
V=π∫[0→1]r^2 dz+π∫[1→√2] r^2 dz
=π∫[0→1] zdz+π∫[1→√2] (2-z^2)dz
=π[z^2/2][0→1]+π[2z-z^3/3][1→√2]
=π/2+π[2(√2-1)-(1/3)(2√2-1)]
=π(8√2-7)/6

(2)
z=f(r,φ)=r^2
fr(r,φ)=2r,fφ(r,φ)=0
S=∫∫{0≦r≦1,0≦φ≦2π} √{1+(fr)^2} rdrdφ
=∫∫{0≦r≦1,0≦φ≦2π} √(1+4r^2) rdrdφ
=∫[φ:0→2π]dφ∫[r:0→1] r√(1+4r^2) dr
=2π[(1/12)(1+4r^2)^(3/2)][0→1]
=π(5√5-1)/6

(3)
z=f(r,φ)=√(2-r^2)
fr=-r/√(2-r^2),fφ=0
S=∫∫{0≦r≦1,0≦φ≦2π} √{1+(fr)^2}rdrdφ
=∫[φ:0→2π] dφ∫[r:0→1] √{1+(fr)^2} rdr
=2π∫[0→1] r√{1+r^2/(2-r^2)}dr
=2π∫[0→1] (√2)r/√(2-r^2) dr
=2π√2 [-√(2-r^2)][0→1]
=2π√2 (√2-1)
=2(2-√2)π

回答No.1

naniwacchi

考えている立体が z軸を中心とした回転体になっていることから、
x＝ 0（yz平面）もしくは y＝ 0（zx平面）で切った断面図を考えればよい。

z軸が回転の軸であることに注意しながら考えていけば、
そんなに複雑な計算にはならないかと。