直方体のすり減った角の部分(三角すい)の体積の求め方

質問

直方体において角がすり減ったときのそのすり減った分(三角すい)の体積を知りたいのですが，その際に角から見て垂直に存在する底面の面積と，そこから角のあった場所までの高さから体積を求めたいのです．
直角座標系で，あるx,y,z座標に点が存在し，その三点の座標は分からないけれど，その三点で形成される三角形の面積がわかっているときにその底面からの原点までの距離を知りたいということです．
うまく説明できているか分かりませんが，理解していただきご回答を頂ければ幸いです．
よろしくお願いします．

回答No.3

h191224 · ベストアンサー

まず、頂点を原点とし、三角形の頂点の座標（ｘ,0,0）（0,ｙ,0）（0,0,ｚ）とします。

ｘ,ｙ,ｚは不明で、わかっているのは、三角形の面積Ａだけ、ということですが、三角形の方向は指定する必要があります。

この方向を、原点を始点とし、三角形に垂直な方向ベクトルλ
λ＝(α,β,γ）　ただし、α^2＋β^2＋γ^2＝1　　・・・　(1)
で指定するなら、
1/α：1/β：1/γ＝x：y：z　・・・(2)
の関係が成り立ちます。

また、三角形の面積Ａは、ｘ，ｙ，ｚを用いて、次のように書けます。
2Ａ＝√(x^2・y^2＋y^2・z^2＋z^2・x^2)　・・・　(3)

(2)(3)より、
ｘ＝√(2βγＡ/α)，　ｙ＝√(2γαＡ/β)，　ｚ＝√(2αβＡ/γ)　　・・・　(4)

三角形と頂点で構成される三角錐の体積をＶと書くと、ｘ、ｙ、ｚと求めるべき頂点と三角形の距離（すなわち高さ）ｈとの関係が得られ、
6Ｖ＝ｘｙｚ＝2Ａｈ　・・・　(5)

(4)(5)より、
√(8αβγＡ^3)＝2Ａｈ　・・・　(6)
ｈ＝√(2αβγＡ)　・・・　(7)

式の導出過程が間違っているかも知れませんが、基本的には、上記をなぞれば、解が得られます。

回答No.4

Ishiwara

ご質問の意味がよく分からないので、勝手に解釈すると
この体積は、xyz/6 とも Sh/3 とも書けるので、両者が等しいとすれば
h=xyz/2S となるようです。

回答No.2

colder

底面の三角形の面積しか分かっていないとすると、三角錐の体積を求めるのおそらく不可能です。
仮に、三角形の各辺の長さ(a,b,c)が分かっているなら、
そこから直方体からすり減った辺の長さ(x,y,z)が、三平方の定理から
x^2=(b^2+c^2-a^2)/2
...
と求められるので、三角錐の体積が求められます。

回答No.1

ginlime

角から見て垂直に存在する底面　とありますが、角から反対麺の角への直線に対して底面は常に垂直なのでしょうか？もしそうであれば、直方体を斜めに半分に切り落とした仮想底面に相似ですから仮想底面の面積に対比したこの底面の面積の比から底面と角の距離は計算可能です。

補足

ご回答ありがとうございます．
私の書き方が間違っていまして，角から見て常に垂直ではないです．
形成された三角形から角へ法線を引いたときのその高さを求めたいです．
よろしければまたアドバイスを下さい．
よろしくお願いします．