複素平面での解析関数に対する要件

質問

複素平面での解析関数に求められる要件は名称で言うならコーシーリーマンの関係式です。それとイコールの意味での要件は、微分が方向に依らない（ガウス平面上の点に近づく全方向で微分が同じ値を取る）ということです。（この理解が間違ってるかも知れませんが）
私は、後者（微分が方向に依らない）から前者（コーシーリーマンの関係式）が誘導できないかなあと思っています。どうでしょうか。

実数の2次元平面(x,y)においてf(x,y)の任意の方向(n方向）の微分は、n・grad(f)となります。ベクトル解析における方向微分です。これを複素平面（ガウス平面）に適用してその値がnベクトルの成分に依存しないで一定である（すなわち方向微分の値が方向に依存しない）という要件から誘導できるのではないかと思いましたが、ハズレのようです。考え方が間違っているでしょうか。
なお、ガウス平面でのfのgrad（勾配）は、(df/dx, df/(d(iy))としていますが。

※ガウス平面上の微分からコーシーリーマンの関係の誘導する過程は理解しました。微分値が(Δx, iΔy)に依存しないので方向に依存しないということだと思います。

以上、よろしくお願いします。

回答No.3

stomachman

ANo.2へのコメントについてです。
　迷走中かな？まずは複素数を実部・虚部に分けて
　　z = x + i y
　　F(z) = U(x,y) + i V(x,y)
と書いてみる。で、2変数の実関数U, Vが点(x,y)=Cでそれぞれ全微分可能、つまり、
　　Ux = ∂U/∂x, Vx = ∂V/∂x, Uy = ∂U/∂y, Vy = ∂V/∂y
が存在する場合を考えます。問題は
　　 (dF/dz)(C) = lim {z→0} (F(C+z) - F(C))/z
が、zをどういう風に0に近づけるかに依らない、とはどういう事か。そこで
　　(F(C+z) - F(C))/z
のzをx,y、FをU, Vを使って表す。そして、U, Vを一次近似（接平面）で書いてみる。（ただし全微分の記号は使わずに、偏微分で書くのが吉。）それから、分子分母にzの共役複素数を掛け算すると、
● コーシー・リーマンの微分方程式が成立つ場合には、この式がどう整理される？
● 逆に、成立たない場合には、「zをどういう風に0に近づけるかに依らない」ということが可能か？
という話ですてば。

回答No.2

stomachman

> 実空間においては微分が方向に依らないとしたら微係数が全方向に
> ゼロすなわち水平面（値は一様）ということになるかも

R^2からRヘの関数(R:実数)の場合だって、接平面を考えるために偏微分してるんですよね。悩め悩め～

お礼

その次の悩みにお付き合い願います。
実空間の場合、df/dn=n・gradf=|n||gradf|cosθ=|gradf|cosθがθに依存しないためには|gradf|=0となり、fx=fy=0となるのではないでしょうか。これの複素数版ですよね...。

回答No.1

stomachman

> 複素平面での解析関数に求められる要件は名称で言うならコーシーリーマンの関係式で
> す。それとイコールの意味での要件は、微分が方向に依らない（ガウス平面上の点に近
> づく全方向で微分が同じ値を取る）ということです。

> どうでしょうか。

その考え方でオッケーですよ。がんばれー。

お礼

ありがとうございます。
微分が方向に依らない⇔コーシーリーマンの関係式　⇔は1対1対応（全単射・必要十分）

というところの承認を受けたと思います。

コーシーリーマン→微分が方向に依らない　は理解できましたが、
微分が方向に依らない→コーシーリーマン　がうまく出ないのです。

微分が方向に依らないはというのは実空間の方向微分が方向に依らないというのと同系統の証明で行けるでしょうか。実空間においては微分が方向に依らないとしたら微係数が全方向にゼロすなわち水平面（値は一様）ということになるかも。そうすると証明の方針が間違っているかも知れません。