ＣＲ回路の時定数について

質問

CR回路の時定数をt、抵抗値をR、電気容量をCとした時、t =CRとなる計算過程を教えて下さい。

回答No.1

Donotrely · ベストアンサー

微分方程式を立てて解く必要があります。
質問からだけですと回路がはっきりしませんが、

例えばCとRが直列で、Cの初期状態は電荷0(両端の電圧0)
この直列回路のR側の端に、C側を基準に、
時刻0より前は0V、時刻0以降一定電圧V0を印加した場合を考えてみます。

簡単な線形方程式ですから、私は演算子法をお勧めします。
もちろんラプラス変換などでも結構です。

微分方程式は、

Cに蓄えられた電荷をQ、CとRの接続点の電圧をVとすると、

R両端の電圧は
(dQ/dt)R

C両端電圧は
Q/C

です。

これより時刻0で下記の微分方程式が成り立ちます。
V0=(dQ/dt)R+Q/C

以下演算子法でこれを解きます。

まず
(dQ/dt)R+Q/C=0
の一般解を求めます。

(RD+1/C)Q=0
D=-1/CR

Q=A×EXP((-1/CR)t)
但しAは積分定数

次に
V0=(dQ/dt)R+Q/C
の特殊解ですが、
Q=CV0

結局
V=(dQ/dt)R+Q/C
の一般解は
Q=A×EXP((-1/CR)t)+CV0

境界条件として、
t=0でQ=0
より、
0=A+CV0
A=-CV0

Q=A×EXP((-1/CR)t)+CV0
=CV0(1-EXP((-1/CR)t))
これより
Q/C=V=V0(1-EXP((-1/CR)t))

これで時刻と電圧の関係
V=V0(1-EXP((-1/CR)t))
が得られました。

ここで
V=V0(1-EXP((-1/CR)t))
の
t=0での接線を考えます。
dV/dt=V0(1/CR)EXP((-1/CR)t)
時刻t=0ではV0(1/CR)

結局t=0での接線は
V=V0(1/CR)t
となります。

これがV=V0と交わるのは、
V0(1/CR)t=V0を解き、

t=CR

が得られます。

回答No.2

shintaro-2

電気回路の教科書を見てください。