CR応答回路の時定数

質問

CR応答回路から振幅が1/eに低下する時間を時定数（τ）と定義しているが、
１．CRとなることを示せ。
２．任意の2点間の時間がτであれば、その2点間の振幅値は1/eの関係にあることを示せ。
３．τ=CRの単位が時間（秒）になることを示せ。

この問題がネットで調べまわってもなく、わかりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

１.
C-R直列回路に直流電圧Vをt=0にスイッチを閉じるときの回路に流れる電流i(t)(t≧0)は、Cの初期電荷を0[C]とすると
　i(t)=(V/R)e^(-t/(CR))
になります。
詳しくは参考URL参照のこと。
ttp://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-1CRkato.htm
時定数τ=CRとなることについて
t=t1の時のi(t1)=(V/R)e^(-t1/(CR))=I1(とおく)
t=t2のとき
　i(t2)=I1/eとなったとすると
i(t2)=(V/R)e^(-t2/(CR))=I2(とおく)
　I2=(V/R)e^(-t2/(CR))=I1/e
　　=(V/R)e^(-t1/(CR)-1)
これから
　t2/(CR)=t1/(CR)+1
　t2=t1+CR
　∴t2-t1=CR
i(t2)がi(t1)の1/eになる時間経過はt2-t1=CRとなります。

２．
１．で計算した通り
任意の2点間の時間がτ=t2-t1=CRであれば
I2/I1=((V/R)e^(-t2/(CR)))/((V/R)e^(-t1/(CR)))
=((V/R)e^(-(t1+τ)/(CR)))/((V/R)e^(-t1/(CR)))
=e^(-τ/(CR))=e^(-1)=1/e
という関係が導けます。

３．
e^(-t/(CR))の指数部「t/(CR)」の次元は無次元（単位無し）なので
CRの次元(単位)はtの次元(単位)と同じになります。
tの次元（単位）は時間(秒)なので、τ=CRの次元（単位）も同じ時間（秒）の次元（単位）となります。

回答No.3

DCI4

この問題がネットで調べまわってもなく、わかりません。
よろしくお願いします。

★回答

問題は一般的回路の問題なので　どこにでも　回答はころがっているわけです

問題はあなたの検索テクニックの問題だと思います
一発で出てきます

検索キーワード：　過渡現象　　　ラプラス変換

ずばりこれ↓PDFデータでありますよ
第 2 章：電気回路の過渡現象とその解き方
http://k-lab.e.ishikawa-nct.ac.jp/course/CT2/09CT2/handouts/09CT2_f_lect01/09CT2_f_lect01_slide.pdf

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

CR応答回路って何でしょう？

「振幅が1/eに低下」ということなので、
単に C の電荷を R を介して放電する場合の C の電圧の話　とすれば

1.
dVc/dt = -i/C, iR = Vc

di/dt = -i/CR　=> i = e^(-t/(CR)) ⇒ τ=CR

2. 式から明らか

3. -t/(CR) が無次元量だから CRは秒でもよいと思いますが

オームは m^2·kg·s^(-3)·A^(-2)、ファラッドは　m^(-2)·kg^(-1)·s^4·A^2
だから s でもよいでしょう。

回答No.1

shintaro-2

>この問題がネットで調べまわってもなく、わかりません。

諦めて、自分でCR放電回路の方程式を立てて解いてください。