微分の問題(貨幣需要の利子弾力性)

質問

【問題】
利子率R,貨幣需要M/Pについて、貨幣需要の利子弾力性eは
e = (-R/(M/P))＊(d(M/P)/dR)
で定義される。
Rが0.1をとるときの、利子弾力性を求めよ。ただし、このとき貨幣需要M/PはＲの値に関係なく任意に定まるものとする。

【解答】
e = (-0.1/(M/P))＊(-∞) = ∞

解答部分の-∞について、
つまりM/PをRで微分すると負の無限大になるということですが、この部分がよくわかりません。M/PはRについて不変ですから、0となるように思えます。
なぜ負の無限大となるのか、経済学か数学に詳しい方、教えてください。

回答No.2

statecollege

以下回答１の追記です。

>Rが0.1をとるときの、利子弾力性を求めよ。ただし、このとき貨幣需要M/PはＲの値に関係なく任意に定まるものとする。

この問題文ですが、確かにわかりづらい表現ですが、「貨幣需要M/PはR=0.1が与えられても、一意に定まらない、任意の値をとる」、つまり、「R=0.1のところで貨幣需要量は無限に弾力的、貨幣需要曲線がR=0.1で水平になっている」という意味です。あなたのように、解釈するなら、「任意に定まる」ではなく、「一定値をとる」という言葉になっていなくてはならない。

回答No.1

statecollege

ミクロ経済学で、需要の価格弾力性というのを習ったでしょう。ある財の市場価格をP、市場需要量をXとすると,　需要の価格弾力性は

　　　e =-(dX/X)/(dP/P) = -（P/X)(dX/dP)

と定義される。価格Pを縦軸に、Xを横軸にとったとき、需要曲線が通常右下がりの曲線となることは御承知の通り。極端な場合（特殊の場合）として、２つのケースがあります。１つは、需要曲線がある価格のもとで、水平になるとき、もう一つある数量のもとで垂直になる場合です。前者は需要の価格弾力性が無限大となる（需要が完全に弾力的になる）ケースであり、後者は需要の価格弾力性が0となる（需要が完全に非弾力的になる）ケースであることも御存じでしょう。後者はなぜ弾力性がゼロになるか？需要曲線は垂直ですから、縦軸の価格をどんなに動かしても、数量は変わらない、つまり、弾力性はゼロなのです。前者のほうは、これとまったく反対で、需要曲線は水平ですから、価格がほんのちょっと下がったとしましょう。需要量は無限大に増えます。分かりにくかったら、需要曲線が水平よりほんの少し右下へ傾いている需要曲線をイメージしてください。価格がほんの少し下げると、需要量がぐんと増えることがわかるでしょう。つまり、需要の弾力性は非常に大きいのです。そこから、需要曲線が完全に水平なら、弾力性が無限大となることを理解することを容易でしょう。

以上が直感的説明。今度はもう少し数学的に説明してみましょう。あなたが問題にしているのは、需要曲線がある価格のもとで水平のとき、なぜｄX/dP = -∞となるか、ということです。思い出してください、需要曲線というのは、上で書いたように、価格Pを縦軸に、数量(需要量）Xを横軸に描かれています。したがって、需要曲線の傾きは、dP/dX = 1/(dX/dP)ですから、需要曲線が水平ということは、傾きはdP/dX = 0-、すなわち、ｄX/dP = -∞なのです。　（なお、0-というのは、極限をとるとき、右側から近づけるという意味です。）
貨幣需要の場合は上の議論で、XがM/Pで、PがRと置けばよいのです。なお、貨幣の需要がある利子率のもとでその弾力性が∞になることを、「流動性のわな」に陥るといい、ケインジアンのマクロ経済学では重要な働きをします。