絶対値に関して

質問

a=∫｛０→１｝１/（１＋ｘ）ｄｘ

a(n)=∫｛０→１｝１－（－ｘ）＾ｎ/（１+ｘ）ｄｘ

において｜a(n)－a|を絶対値記号をはずしたとき

∫｛０→１｝ｘ＾ｎ/（１＋ｘ）になると書いてあるのですが理解できません。

どなたかご教示いただければありがたいです　お願いします

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>a(n)=∫｛０→１｝１－（－ｘ）＾ｎ/（１+ｘ）ｄｘ

この書き方では次のどちらか、正しく伝わりません。
a(n)=∫｛０→１｝(１－（－ｘ）＾ｎ)/（１+ｘ）ｄｘ
a(n)=∫｛０→１｝１－(（－ｘ）＾ｎ/（１+ｘ）) ｄｘ

積分範囲｛0→１}から x>0…(※1) であることはわかります。

前者であれば
A=｜a(n)－a | = |∫｛0→１｝(１-(-ｘ）＾n)/（１+ｘ） ｄｘ-∫｛0→１｝１/（1+ｘ）ｄｘ |
= |∫｛0→１｝{ (１-（-ｘ）＾n)/（１+ｘ） -１/（1+ｘ）}ｄｘ } |
= |∫｛0→１｝(-（-ｘ）＾n)/（1+ｘ）dｘ} |
=|∫｛0→１｝(-（-1)^n)*ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ |

◆ nが奇数のとき　-(-1)^n=+1なので
A=|∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ |
(※1)より　ｘ＾n/（1+ｘ）>0 なので∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ >0　であるから
絶対値が外せて
A=∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ
◆ nが偶数のとき　-(-1)^n=-1なので
A=|∫｛0→１｝-ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ |
=|-∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ |
=|∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ |
(※1)より　ｘ＾n/（1+ｘ）>0 なので∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ >0　であるから
絶対値が外せて
A=∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ

以上から　nの奇数、偶数に関わらず
A=∫｛0→１｝ｘ＾n/（1+ｘ）ｄｘ
が成り立つ。

回答No.3

yyssaa

＞No.1です。回答No.1を補足します。

＞a(n)-a=∫{0→1}{1-(-x)^n}/(1+x)dx-∫{0→1}1/(1+x)dx
=∫{0→1}1/(1+x)dx-∫{0→1}(-x)^n/(1+x)dx-∫{0→1}1/(1+x)dx
=-∫{0→1}(-x)^n/(1+x)dx=-(-1)^n∫{0→1}x^n/(1+x)dx
|a(n)-a|=|-(-1)^n∫{0→1}x^n/(1+x)dx|
ここまでは同じ。

上の式は
|a(n)-a|=|-(-1)^n|*|∫{0→1}x^n/(1+x)dx|
ここで|-(-1)^n|=1だから
|a(n)-a|=|∫{0→1}x^n/(1+x)dx|
ここで∫{0→1}x^n/(1+x)dx＞0はnの値によらず常に成り立つので、
右辺の絶対値記号はそのまま外れて
|∫{0→1}x^n/(1+x)dx|=∫{0→1}x^n/(1+x)dxが成り立ち、
|a(n)-a|=∫{0→1}x^n/(1+x)dxとなる。
なお、左辺のa(n)-aは
nが偶数のときはa(n)-a＜0となりa(n)-a=-∫{0→1}x^n/(1+x)dx
nが奇数のときはa(n)-a＞0となりa(n)-a=∫{0→1}x^n/(1+x)dx
いずれにしても|a(n)-a|＞0だから
|a(n)-a|=∫{0→1}x^n/(1+x)dxとなる。

回答No.1

yyssaa

＞a(n)-a=∫{0→1}{1-(-x)^n}/(1+x)dx-∫{0→1}1/(1+x)dx
=∫{0→1}1/(1+x)dx-∫{0→1}(-x)^n/(1+x)dx-∫{0→1}1/(1+x)dx
=-∫{0→1}(-x)^n/(1+x)dx=-(-1)^n∫{0→1}x^n/(1+x)dx
|a(n)-a|=|-(-1)^n∫{0→1}x^n/(1+x)dx|
ここで∫{0→1}x^n/(1+x)dx＞0だから
|a(n)-a|=∫{0→1}x^n/(1+x)dxとなる。