整数の問題の計算

質問

３で割ると１余り、５で割ると２余る正の整数の一般形を求めよ。

ヒント：N=3x+1=5y+2
こんばんは、よろしくお願いします。

この問題の途中の計算で、

3x-5y=1

解の1つｘ、ｙ＝2、1を用いると、

3(x-2)=5(y-1)

（公式、ax+2y=cを解くには1つの解x0、y0を見つけ、a(x-x0)=-b(y-y0)ですよね。）

と、ここまでは分るのですが、この次の行の

ここで、kを整数とすると、

x-2=5、.y-1=3k,

すなわち

x=2+5k,y=1+3kとなる。

と、あるのですが、分らないです。

3(x-2)=5k、5(.y-1)=3k、だったら分るんですけど、

3( )と5(　)はどこへいったんですか？

回答No.3

2hen6 · ベストアンサー

NO.1、NO.2の回答で間違いないですが、失礼ながらちょっと話を噛み砕いて、
式ではなく文章で説明してみたいと思います。

3(x-2)=5(y-1)　　…(1)

この式にたどり着く前にxとyを正の整数、と置いていると思います。
なので上の式のx-2もy-1という形は整数と整数を引き算していますから、
x-2も、y-1も整数、ということになります。

ここで右辺を見てみると、５×整数、の形になっています。
右辺が５の倍数ということは、左辺も５の倍数のはずです。
つまり3(x-2)が５の倍数なのですが、掛け算している３は当然ですが
５の倍数ではなく、
左辺が５の倍数になるためにはx-2が５の倍数でなければなりません。
よって、

x-2＝5k　　　（kは３以上の整数）

と置くことができ、-2を移項したものが

x=2+5k

というわけです。

次にxをkで置いたものを、元の式(1)に代入してみましょう。

あとは計算すれば

y=1+3k

となるはずです。

お礼

こんにちは、ご回答ありがとうございます。

遅くなってすいません。

無事解くことができました。本当によく分りました。

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回答No.2

noname#47975

＞x-2=5、.y-1=3k
はx-2 = 5k y-1 = 3kの誤記でしょうかね？

3(x-2)=5k、5(y-1)=3k、だったら分るんですけど、
3(x-2)は３の倍数であり、5(y-1)は５の倍数になります。
これらの数字が互いに一致するためには、その公倍数に当たる１５の倍数にならなければなりません。正確には、

3(x-2) = 15k－－－(1)
5(y-1) = 15k－－－(2) (kは0以上の整数）

だが、
(1)の両辺を３で割れば、
(x-2) = 5k
(2)の両辺を５で割れば、
(y-2) = 3k
となるという事ですね．．。

お礼

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回答No.1

koko_u_

x, y は整数なので

3(x-2) = 5(y-1) = K : 整数

K = 3(x-2) より K は 3 で割り切れ、同様に K = 5(y-1) より 5 で割り切れる

結局 K は 3*5 = 15 で割り切れて K = 15k, k は整数 と表現できるので、
もとに戻って

x-2 = 5k, y-1 = 3k

お礼

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