数II 図形と方程式

質問

２円x^2+y^2=1,(x-3)^2+y^2=4の両辺に接する接線の方程式を求めよ。

の求め方を教えてください。問題集の答えを見てもわかりません。

回答No.3

mizuwa · ベストアンサー

問題集の解説がどのような{性質・公式等}を用いているのかわからないので
簡単そうな方法を２つ

方法１
図形の性質を使って、【下の図を参照してください】

(1)外接する２つの円の共通接線なので、
・・・3本あることがわかる

(2)概略の図を書く
・・・まず、1本【x＝1】がわかる

(3)△ＯＰＱで、ＯＱ＝2√2，ＱＰ＝1
・・・【接線の傾き±1/2√2＝±√2/4】がわかる

(4)△ＯＰＱ≡△ＡＯＢなので、ＡＯ＝3
・・・【接線が(－3，0)を通る】ことがわかる

●(3)(4)から、残りの2本の接線が、y＝±(√2/4)(x＋3)

よって、
x＝1，y＝(√2/4)x＋(3√2/4)，y＝－(√2/4)x－(3√2/4)

●方法２
点と直線の距離の公式を使って

(1)接線をax＋by＋c＝0とし、
・・・円の半径を中心からの距離と考える

(2)接線と(0，0)の距離を考え、
・・・|c|/√(a^2＋b^2)＝1

(3)接線と(3，0)の距離を考え、
・・・|3a＋c|/√(a^2＋b^2)＝2

(4){(2)(3)}から、
・・・a^2＋b^2＝c^2＝(1/4)(3a＋c)^2

(5)方程式を比で解いて、
・・・(a：b：c)＝(1：0：－1)，(1：±2√2：3)

(1：0：－1)のとき、x－1＝0
(1：±2√2：3)のとき、x±2√2y＋3＝0

よって、
x＝1，x＋2√2y＋3＝0，x－2√2y＋3＝0
【後の２式は、yについて解けば、方法1と同じ形になります】

お礼

図もあり、とてもわかりやすいです。
ありがとうございます。
問題集の解説には方法２の方が書いてありました。

回答No.5

spring135

C1:x^2+y^2=1,C2:(x-3)^2+y^2=4の両方に接する接線の接点を各々(p,q),(u,v)とする。

接線の公式により

px+qy=1 　　　　 (1)

(u-3)(x-3)+vy=4　　　　　(2)

(1)：px+qy-1=0

(2)：(u-3)x+vy-3u+5=0

これらが一致するために

p/(-1)=(u-3)/(-3u+5)

q/(-1)=v/(-3u+5)

これより

p=(u-3)/(3u-5) (3)

q=v/(3u-5)　　　　　(4)

接点(p,q)は円：x^2+y^2=1　上にあるので

p^2+q^2=1 (5)

接点(u,v)は円：(x-3)^2+y^2=4　上にあるので

(u-3)^2+v^2=4 (6)

(3)、(4)を(5)に代入して整理すると

(u-3)^2+v^2=(3u-5)^2 (7)

(7)、(6)を比較して

4=(3u-5)^2

3u-5=±2

u=7/3　又は　u=1 (8)

(6)に代入して

v=±4√2/3(u=7/3のとき)、v=0(u=1のとき)　　　(9)

u,vを(3)、(4)に代入して

p=-1/3,q=2√2/3 (u=7/3,v=4√2/3)

p=-1/3,q=-2√2/3 (u=7/3,v=-4√2/3)

p=1, q=0 (u=1,v=0)

u,vを(2)に代入して

円C1との接点が(-1/3,2√2/3),円C2との接点が(7/3,4√2/3)となる共通接線は

x-(2√2)y+3=0

円C1との接点が(-1/3,-2√2/3),円C2との接点が(7/3,-4√2/3)となる共通接線は

x+(2√2)y+3=0

円C1との接点が(1,0),円C2との接点も(1,0)となる共通接線は

x=1

お礼

回答してくださり、ありがとうございます。

回答No.4

NemurinekoNya

この問題は、ズルできるんですよ。
連立方程式を解くの、大変そうだし（ニコニコ）。

円１:x^2+y^2 = 1
円２：(x-3)^2 +y^2 = 2^2
は、点(1,0)で接するので、まず、x = 1が共通接線であることが分かります。

そして、x=1以外の共通接線がx軸と交わる点をA(-a,0)、円１との接点B、円２との接点をC、円2の中心D(3,0)とすると
△ABOと△ACDは相似。相似比はOB：CD = 1:2。AO= OD = 3なので、a = 3。
───このことは、図を書くとわかりますよ───
よって、この共通接線はy = m(x+3)と書くことができる。
直線とOとの距離は１だから
|3m|/√(1+m^2) = 1
9m^2 = 1+m^2
8m^2 = 1
m = ±1/2√2
よって、y = ±(1/2√2)・(x+3)
───二次方程式にして、判別式を使ってもいいですよーー

求める共通接線は、
x = 1
y = ±(1/2√2)・(x+3)

こんな解き方をしたら、高校の先生は怒るに違いない（笑い）。
「図に頼っている。厳密性に欠ける」とケチをつけるに違いない！！

でも、
中学校で図形・幾何学の勉強をしたのだから、その知識を使わない手はないと思いますよ。

お礼

なんと！！そんな方法もあったのですね。
ありがとうございます。

回答No.2

gohtraw

別の解き方として、求める接線の式を　ｙ＝ａｘ＋ｂとして、これを二つの円の式に
それぞれ代入するとｙが消去できてｘの二次方程式が二つ出来る。接線なので
これらの二次方程式は重解をもつことから、二つん二次方程式の解の判別式
はいずれもゼロとなる。これらを連立させればＯＫ．

お礼

お答え、ありがとうございます。

回答No.1

gohtraw

点と直線の距離の公式を使って、求める接線の式をａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０とでもして、
この直線と円の中心の距離を式にします。
前者の円の中心は（０，０）で、この点と接線の距離は円の半径に等しいので１。

もうひとつの円についても同様で、、（３，０）と接線の距離は２。

これで二つの式ができるのでそれらを連立方程式として解くと、未知数は
ａ～ｃの三つであるのに対して式が二つなので、得られるのはａ～ｃの値
ではなく、これらの比が出る。ｂ＝ｐａ、ｃ＝ｑａになったとすると、接線の式は
ａｘ＋ｐａｙ＋ｑａ＝０
となり、ａがゼロでなければ両辺をａで割って
ｘ＋ｐｙ＋ｑ＝０
これが求める接線の式。

お礼

早速の回答ありがとうございます。