数II 図形と方程式 円

質問

点(4,0)を通り、円x^2+y^2=4に接する直線の方程式を求めよ。

という問題の解き方を教えてください。
途中式もお願いします！

回答No.5

Tofu-Yo

マニア向けの解き方を考えました。

P(4，0)として、接点をQとすると、∠PQO＝90°ですので、点QはOPを直径とする円上にあります。ここで、次の事実を使います。

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A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)を直径の両端とする円の方程式は、
(x－x_1)(x－x_2)＋(y－y_1)(y－y_2)＝0
で与えられる。
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上記の事実から、OPを直径とする円の方程式は、
x(x－4)＋y^2＝0
すなわちx^2＋y^2－4x＝0
これと円x^2＋y^2＝4との交点は、2式の連立方程式から、(1，±√3)。
円周上の点(1，±√3)を接点とする円x^2＋y^2＝4の接線の方程式は
x±√3y＝4

回答No.4

noname#215361

(1)ベクトルで考える解法
接点を（x1，y1）とすると、ベクトル（x1，y1）とベクトル（x1-4，y1）は直交するので内積は0
よって、x1*（x1-4）+y1^2=x1^2-4x1+y1^2=0
x1^2+y1^2=4であるから、4-4x1=0→x1=1
y1^2=4-x1^2=4-1=3→y1=±√3

・接点が（1，√3）のとき
直線の方程式は、
y=（0-√3）/（4-1）*（x-4）=-（x-4）/√3→x+（√3）y=4

・接点が（1，-√3）のとき
直線の方程式は、
y=（0+√3）/（4-1）*（x-4）=（x-4）/√3→x-（√3）y=4

(2)直角三角形で考える解法
（図を描いて気が付けば、これが最も簡単だと思われます。）
点（4，0）を点A、2つの接点を点B（y座標が正）と点C（y座標が負）、原点（0，0）を点Oとすると、
直角三角形AOBと直角三角形AOCにおいて、三平方の定理から、
BA=CA＝√（4^2-2^2）=√12=2√3
よって、直角三角形AOBと直角三角形AOCは3辺の長さがそれぞれ等しく合同である
点Bと点Cからx軸に下した垂線の足をHとすると、直角三角形ABHと直角三角形ACHは1辺とその両端の角がそれぞれ等しく合同であるから、点Hは同一である
直角三角形AOBまたは直角三角形AOCと直角三角形ABHまたは直角三角形ACHは2角がそれぞれ等しく相似であるから、
BA：OB=CA：OC=HA：BH=HA：CH＝2√3：2=√3：1

以上から、直線ABの傾きは-1/√3であり、この方程式は、
y=-（x-4）/√3→x+（√3）y=4

また、直線ACの傾きは1/√3であり、この方程式は、
y=（x-4）/√3→x-（√3）y=4

回答No.3

atkh404185

円 x^2+y^2=r^2 上の点(x1, y1) における接線の方程式は、
x1x+y1y=r^2
です。

このことを使うと、
(x1, y1)を使うと、式が見ずらいから、(a, b) を使って、

円 x^2+y^2=4 上の点(a, b) における接線の方程式は、
ax+by=4 … (1)
これが、点(4, 0) を通るから、
4a=4
a=1
また、点(a, b) は、円上の点だから、
a^2+b^2=4
a=1 を代入して、
1+b^2=4
b^2=3
b=±√3
a=1, b=√3 を(1)に代入して、
x+(√3)y=4
a=1, b=-√3 を(1)に代入して、
x-(√3)y=4

(答)　x+(√3)y=4, x-(√3)y=4
と、解くことができます。

回答No.2

bran111

解法I
点(4,0)を通る直線Lの傾きをmとするとLは
y=m(x-4)　　　（1）
これが円
x^2+y^2=4　　　（2）
に接するとき(1),(2)を連立した式においてxまたはyに関する方程式が重解を持てばよい。
(1),(2)よりyを消去すると
x^2+m^2(x-4)^2=4
(1+m^2)x^2-8m^2x+16m^2-4=0
重解を持つとき
D=(4ｍ^2)^2-(1+m^2)(16m^2-4)=0
整理すると
12m^2-4=0
m=±1/√3
L : y=±(1/√3)(x-4)
答えはこのままでよい。
変形すると
ｘ±√3y=4

解法II
円x^2+y^2=4上の点(p,q)における接線L
は
px+qy=4 (1)
これが(4,0)を通るため
4p=4　⇒　p=1　　　(2)
点(p,q)は円x^2+y^2=4上にあることから
p^2+q^2=4 (3)
を満たす。
(2)を代入してqを求めると
q=±√3
(1)を用いてLは
x±√3y=4

回答No.1

gohtraw

他にもあるかも知れませんが、考え方として
（１）　（４，０）を通り、円の中心からの距離が２である直線
（２）　（４，０）を通る直線の式によって与えられるｘとｙの関係を円の式に
　　　　代入して二次方程式を作り、それが重解をもつ条件を求める
があると思います。
（１）
求める直線の式をy=ax+bとすると、(4,0)を通ることから4a+b=0、よってこの直線の
式はy=ax-4a
これに点と直線の距離の公式を使って、y=ax-4aと原点（円の中心）の距離が２（円の
半径）とすればaが求められます。

（２）
上記同様にこの直線の式はy=ax-4aなので、これをx^2+y^2=4に代入するとｘの二次方程式ができます。直線が円に接するということは、この二次方程式が重解をもつということなので、解の判別式=0とすればaが求められます。