微分方程式の問題がわかりません。

質問

解の公式を使って解け。
dy/dx-4y/ x=2( x＾ 5) *e＾( x＾ 2)

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

一回線形微分方程式は一般解があります。

dy/dx+P(x)y=Q(x)

の解は

y={∫[Q(x)e^(∫P(x)dx]dx+C}e^(-∫P(x)dx)

問題は

P(x)=-4/x

Q(x)=2x^5e^(x^2)

解は

y={∫[2x^5e^(x^2)e^(∫(-4/x)dx]dx+C}e^(-∫(-4/x)dx)

={∫[2x^5e^(x^2)e^(∫(-4/x)dx]dx+C}e^(∫(4/x)dx)

e^(∫(-4/x)dx)=e^(-4logx)=(e^logx)^(-4)=x^(-4)

e^(∫(4/x)dx)=e^(4logx)=(e^logx)^4=x^4

y={∫[2x^5e^(x^2)x^(-4)]dx+C}x^4

={∫[2xe^(x^2)]dx+C}x^4

u=x^2とおくと

du=2xdx

∫[2xe^(x^2)]dx=∫[e^u]du=e^u=e^(x^2)

y={e^(x^2)+C}x^4

お礼

ありがとうございます！