証明問題がわかりません

質問

証明問題がわかりません

AB=AC の二等辺三角形ABCがあります。

AC上に点Dが、AB上に点Eがあり

BD=CE である。

また BDとCEの交点をFとする

このとき　三角形BCF が二等辺三角形であることを証明せよ。

回答No.9

funoe

#2さんや#7さんのいうとおり
条件が不足しているのですが、
大元の出題者の意図を汲んで好意的に条件を追加すると、
「ただし、∠CDBは鋭角で∠BECも鋭角」または
「ただし、∠CDBは鈍角で∠BECも鈍角」を追加すれば、
問題として肯定的に証明可能になりますよね。
（共に直角のときは自明なので略）

単純のため、∠CDBも∠BECもともに鋭角とします。

ＢからＡＣに下ろした垂線の足をＤ’、
ＣからＡＢに下ろした垂線の足をＥ’とすれば、
△ＢＣＤ’と△ＣＢＥ’は、直角三角形となり、
斜辺(共有)と１鋭角(二等辺三角形ABCの底角)が等しいので合同。
したがって、ＢＤ’＝ＣＥ’
次に△ＢＤＤ’、△ＣＥＥ’は共に直角三角形で、
斜辺（題意によるＢＤ＝ＣＥ）と１辺（ＢＤ’＝ＣＥ’）が等しいので合同。

したがって、△ＣＢＤ≡△ＢＣＥがいえた。
（例えば、「三辺が等しい」から・・・・ここで追加条件を使ってます）

したがって∠ＣＢＤ＝∠ＢＣＥ。
底角が等しいので、△ＢＣＦは二等辺三角形。

回答No.8

Kules

A No.2のKulesです。
反例書こうとしたら他の方に書かれてた！
…けど描いてみます。

A No.2で回答した内容を図にしてみました。
AC⊥BH、AB⊥CIです。また、IE1=IE2=HD1=HD2です。
これらのことよりBD1=BD2=CE1=CE2なので、EはE1とE2のどちらを用いても、
またDはD1とD2のどちらを用いても題意は満たされるはずです。
ここで、D1とE1の交点F11またはD2とE2の交点F22をFとした時、
△FBCが二等辺三角形であるのは図的にも明らかですし、証明方法は
他の回答者の方々が書かれている通りだと思います。
しかし、D1とE2の交点F12やD2とE1の交点F21をFとした時、
△FBCが二等辺三角形でないのは図から明らかです。

本当にこれだけの条件で確実に二等辺三角形になるのか非常に疑問です。
BD=CEではなくBE=CDならすぐなんですけどね。

以上、参考になれば幸いです。

回答No.7

R_Earl

> 問題はあっています
>
> 条件もこれだけです。

だとしたら
「三角形BCFは二等辺三角形でないこともある。
よって三角形BCFが二等辺三角である事を証明することはできない」
が答えになると思います。

ANo.2の方が仰るように、
問題文の条件だけでは三角形BCFが二等辺三角形にならない場合があります。
反例の画像を添付してみます(表示されるまで少し時間がかかるかもしれません)。

回答No.6

llyyk

△BCD≡△CBEはわかりますか？
２辺１角（というのかな。）が同じですね。
となるとBE=CD，∠BEC=∠CDB，
∠EBD＝∠ECD（∠ABC=∠ACB、∠DBC=∠ECBなので）ですよね。
１辺２角（というのかな。）なので△BEF≡△CDFです。となればBF=CFです。

回答No.5

B-juggler

お邪魔しますよ。代数屋だけど＾＾；

ＢＤ＝ＣＥは　長さが一緒でいいんだよね。

そうすると、線分ＥＤは　線分ＢＣに平行となり、?ＡＢＣ∽?ＡＥＤ　と

できませんか？

ここで垂線を下ろします。線分ＡＦＭとしておきましょう。ＭはＢＣ上。

チェバの定理を使って、（ＡＥ）／（ＥＢ）　×　（ＢＭ）／（ＭＣ）　×　（ＣＤ）／（ＤＡ）＝１

上記相似より、（ＡＥ）／（ＥＢ）　×　（ＣＤ）／（ＤＡ）＝１　

よって、ＢＭ＝ＭＣ　，，　線分ＥＤと線分ＢＣが平行より、∠ＦＢＭ＝∠ＦＣＭ，，

これを補足で。だめかなぁ？
ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.4

noname#164823

推薦　間違えました。垂線です。

回答No.3

noname#164823

頂点Aから底辺に推薦を引き、辺BCとの交点をMとする。

三角形FBMと三角形FCMにおいて

FMは共通　１
BM=CM　　2
角FMB＝角FMC＝直角　3

1,2,3により　三角形FBMと三角形FCMは合同（二辺侠角相当）
よってFB=FC　で

三角形FBCは二等辺三角形である。

で、どうですか。

回答No.2

Kules

その問題ってほんとに合ってますか？
それ以外に条件ってありませんか？
例えばこんな作図をしてみましょう。
AB=ACの二等辺三角形ABCを描く
BからACに垂線BHを、CからABに垂線CIを下ろす。
Hからp離れた点(pはHCより短い)をAC上に２点とり、そのうちCに近い点をD1,Aに近い点をD2とする(A,D2,H,D1,Cの順に並ぶ)
同様に、Iからp離れた点をAB上に２点とり、そのうちBに近い点をE1,Aに近い点をE2とする

ここまで描くと、細かい証明は省略しますが、BD2=BD1=CE1=CE2となりますので、DはD2かD1、EはE1とE2どちらをとってもBD=CEを満たすことができます。
D2とE2、あるいはD1とE1の組み合わせにすれば確かに見るからに二等辺三角形になりそうですが(証明抜きにしても、雰囲気的に)
D2とE1、あるいはD1とE2の組み合わせにした場合、三角形BCFが二等辺三角形になるとは到底思えないのですが。

私何か勘違いしてますかね…そのあたり補足要求させていただきます。

補足

問題はあっています

条件もこれだけです。

回答No.1

sotom

頭の中だけで考えても分からない場合、図を描きましょう。
嫌でも分かりますよ。

何処が分からないんですか？　本当に考えていますか？

補足

こっちは図があって考えてるんです。

有名な数学者　広中平祐　さんも解けなかったという問題なんです。

図を見ると一見簡単そうなんですが　まったくわかりません。