確率の証明問題の最後が不安です。

質問

確率の証明問題の最後が不安です。

以下問題です、手数をお掛け致します。

連続的な正値の確率変数Xに対して、Xの平均値E（ｘ）、分布関数Fｘ(x）とすれば、
E(X)＝∫[0 ∞](1-Fx(x))dxが成り立つことを証明せよ。

1-Fx(x)=1-px(X<=x)=px(X>x)=∫[x ∞]px(t)dt なので、
∫[0 ∞](1-Fx(x))dx=∫[0 ∞]{∫[x ∞]px(t)dt}dx

重積分の範囲が(0<=x<t<∞)なので、積分順序を入れ替えて
∫[0 ∞]{∫[0 t]px(t)dx}dt
=∫[0 ∞]{px(t)∫[0 t]1dx}dt
=∫[0 ∞]t*px(t)dt
=E(X)

最後で唐突にE(X)になっていますが、問題ないでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>最後で唐突にE(X)になっていますが、問題ないでしょうか？
最後の2行の置き換えは定義ですので問題ないでしょう。

問題は
確率関数と確率分布密度関数を紛らわしく同じpx(・)を使っていることです。
確率関数Px(0<=X<=x)=Fx(x)-Fx(0)=∫[0,x]fx(t)dt(x>=0)
と確率分布密度関数fx(x)=d(Fx(x)/dx(x>=0)
を明確に区別して書いた方が良いでしょう。

お礼

ご指摘、ありがとう御座います。
さっそく区別を明確にして解いてみます。