次の定理に従って展開してください

質問

定理
f(x)=f(0)+f'(0)x+{f''(0)/2!}x^2+・・・・・・+{f^(n-1)(0)/(n-1)!}x^(n-1)+{f^(n)(θx)/n!}x^n

f(x)=1/(1-x)
解答　f(x)=1+x+x^2+x^3+(x/1-θx)^4
となっていますが、何回計算しても最後の項がx^4/(1-θx)^5となってしまい、次数が一致しません。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足（修正を含む）と補足質問の回答

θ_x は　ある xに対して
f(x)=1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+(x^4)/(1-θx)^5
が成り立つような0<θ_x<1を満たす定数θ_x=θ(x)が存在するという意味です。

|x|<1は収束条件で、この範囲の任意のxに対してxに依存しない定数θが存在するわけではありません。

この意味では
θ_x=θ(x)（xで決まる定数）の代わりに
θ_x=θ(x)*x　とすることも
選択肢の１つです。つまり、どちらで考えても問題ないということです。
したがってテーラーの定理の余剰項は
　Rn={f^(n)(θ*x)/n!} x^n
という書き方と
　Rn={f^(n)(θ)/n!} x^n
という書き方の
いずれの定理の書き方も有りです。
どちらの場合もθは、θ(x)　つまり xの収束範囲内のあるxに対して、xにより決まるθであることに変わりありません。

>解答の　f(x)=1+x+x^2+x^3+(x/1-θx)^4　
は間違いです。
テーラーの定理には文献によっては以下の２通りが見られます。
　f(x)=1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+(x^4)/(1-θ*x)^5 …(※1)
　f(x)=1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+(x^4)/(1-θ)^5　　…(※2)
どちらも間違いではありません。
上の場合は θ_x=θ*x (0<θ<1)、下の場合は θ_x=θ(0<|θ|<1)に当たります。θ=θ(x)で、 |x|<1 (収束条件)は共通です。

>log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)(x/(1+θ*x))^4
=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)(x^4)/(1+θ*x)^4

>√(1+x)=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3-(5/128)(1+θx)^(-7/2)x^4
=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3-(5/128)(x^4)/(1+θ*x)^(7/2)
>となっており、θ・xを代入しているのですが

テーラーの定理によっては余剰項を、θ_x　をθ(x)・x とする場合と
θ(x)とする場合があるので、θ・x (0<θ<1, |x|<1)を代入する定理もありです。
両方の場合について具体的にグラフを書いてみれば、収束範囲内(|x|＜１)のxに対して（※1）と(※2)を満たす定数θ(x)がそれぞれ決まります。

添付図は（※1）の余剰項の場合で
θ_x=θ*x　で
　x=-0.5の場合 θ≒0.15
　x=0.3の場合 θ≒0.37
のケースです。

回答No.1

info222_

テーラーの定理の余剰項Rnを勘違いしていませんか?
(参考URL参照)
ttp://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/ThrmTaylorExpansionPrf.htm

誤：{f^(n)(θx)/n!}x^n
正：{f^(n)(θ_x)/n!}x^n

定数θxは「θ×x」ではなく xはθの下付き添字で「θ_x」です。
ここで θ_xは 0<θ_x<x　または　x<θ_x<0

「θx」と書くから間違う（勘違い）のだろう。単にθと書き定理の式を

f(x)=f(0)+f'(0)x+{f''(0)/2!}x^2+・・・・・・+{f^(n-1)(0)/(n-1)!}x^(n-1)+{f^(n)(θ)/n!}x^n

とすれば間違わなかったのだろうね。
そうすれば
f(x)=1/(1-x)のときのマクローリン展開（x=0のまわりテーラー展開）
の解答は

誤：f(x)=1+x+x^2+x^3+(x/1-θx)^4
正：f(x)=1+x+x^2+x^3+(x^4)/(1-θ)^5
　　( 0<|θ|<1 ), ( |x|<1 )

となります。

[導出法]
f (x)=1/(1-x)，f (0)=1
f '(x)=1/(1-x)^2, f '(0)=1
f ''(x)=2/(1-x)^3, f ''(0)=2!=2
f '''(x)= 3!/(1-x)^4, f '''(0)=3!=6
f ''''(x)= 4!/(1-x)^5, f ''''(θ)=4!/(1-θ)^5

f(x)=f(0)+f '(0)x+f ''(0)x^2/2!+f '''(0)x^3/3!+f ''''(θ)x^4/4!
=1+x+x^2+x^3+(x^4)/(1-θ)^5
（0<|θ|<1, |x|<1）

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/eman/math/taylor.html

お礼

0<θ<1という条件を書き忘れました、すみません。

補足

回答ありがとうございます。
しかし、他の問題を見てみると
log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-1/4(x/1+θx)^4
√(1+x)=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3-(5/128)(1+θx)^(-7/2)x^4
となっており、θ・xを代入しているのですが、、、、、