マクローリン展開の問題について

質問

いまいち納得いかない問題があるので質問です。
√(1+x)のマクローリン展開は
=1+1/2x-1/(2*4)x^2+・・・+(-1)^(n-1){(1*3・・・(2n-3)}*x^n/{(2*4・・(2n)}となると書いてあるります。確かに自分で拡張された二項定理から求めた一般式と↑の一般式は一致するのですが、
一般式のｎにn=1,n=2・・・を代入して得られる値と、第二項、第三項・・の値は符号が逆になってしまいます。
これが何故こうなるのか納得できません。
どなたかご解答お願いします。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

>{(1*3・・・(2n-3)}*x^n/{(2*4・・(2n)}で
>n=1のときは
>-1/2
>となり、これに先ほどの(-1)^(n-1)=(-1)^(0)=1をかけあわせても-1/2で符号が逆になってしまいませんか？

誤解ですね。正確には
{(1*1*3・・・(2n-3)}*x^n/{(2*4・・(2n)}
でn=1の時は
1*x^1/2=1/2xです。
便宜的に(2n-3)と表記してありますが、1,3,5とかけて(2n-3)に成るまでかけろということであって、初項が(-1)であることを示しているわけでは有りません。

お礼

やはり誤解していたんですね。
よく分かりました。
どうも有り難うございました。

回答No.1

Rossana

(-1)^(n-1)というのを見落としているだけではないでしょうか？
n=1を代入すれば
(-1)^(n-1)=(-1)^0=1
n=2を代入すれば
(-1)^(n-1)=(-1)^1=-1
n=3を代入すれば
(-1)^(n-1)=(-1)^2=1
n=4を代入すれば
(-1)^(n-1)=(-1)^3=-1
…
というように
nが奇数のときは(-1)^(n-1)=1
nが偶数のときは(-1)^(n-1)=-1
となります．

お礼

ご解答有難うございます。
(-1)^(n-1)はそうなると思うんですが、
{(1*3・・・(2n-3)}*x^n/{(2*4・・(2n)}で
n=1のときは
-1/2
となり、これに先ほどの(-1)^(n-1)=(-1)^(0)=1をかけあわせても-1/2で符号が逆になってしまいませんか？

何か勘違いしていましたら(しているのでしょうが;)すいません。

補足

お礼ではなく、補足でした。

ご解答有難うございます。
(-1)^(n-1)はそうなると思うんですが、
{(1*3・・・(2n-3)}*x^n/{(2*4・・(2n)}で
n=1のときは
-1/2
となり、これに先ほどの(-1)^(n-1)=(-1)^(0)=1をかけあわせても-1/2で符号が逆になってしまいませんか？

何か勘違いしていましたら(しているのでしょうが;)すいません。