Leibnizの定理でだした関係式からf^(n)(0)の値が求められません。

質問

f(x)=(arcsin(x))^2
をLeibnizの定理でn-2回微分を行って
f^(n)(0)=(n-2)^2*f^(n-2)(0) (n≧3)
という関係式をだしたのですが、この式からf^(n)(0)の値を求めることが出来ません。どうすればいいでしょうか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

f^(0)(0)=f(0)=0
f^(1)(x)=f'(x)=2*arcsin(x)/√(1-x^2)
f^(1)(0)=f'(0)=0
f^(2)(x)=f"(0)=2/(1-x^2)+2x*arcsin(x)/(1-x^2)^(3/2)
f^(2)(0)=f"(0)=2

f^(n)(0)=(n-2)^2*f^(n-2)(0) (n≧3)
n=奇数の時
f^(3)(0)=1*f^(1)(0)=1*f'(0)=0
f^(5)(0)=3^2*f^(3)(0)=0
…
f^(n)(0)=(n-2)!*f^(n-2)(0)=0
∴f^(n)(0)=0　(n=奇数の場合)

n=偶数の場合
Sn =f^(n)(0)/f^(n-2)(0)=(n-2)^2
Sn-2=f^(n-2)(0)/f^(n-4)(0)=(n-4)^2
…
S4 =f^(4)(0)/f^(2)(0)=2^2
辺々掛けて
Sn*Sn-2*Sn-4*…S4=f^(n)(0)/f^(2)(0)=((n-2)!!)^2
∴f^(n)(0) =f^(2)(0)*((n-2)!!)^2 =2((n-2)!!)^2 (n=偶数の場合)

回答No.2

joggingman

その式から求めるとなると、

ｎ偶数のとき
f^(n)(0)=(n-2)^2*f^(n-2)(0)=(n-2)^2*(n-4)^2*f^(n-4)(0)
=・・・=(n-2)^2*(n-4)^2*・・・*2^2*f^2(0)
ｎ奇数のとき
f^(n)(0)=(n-2)^2*(n-4)^2*・・・*1^2*f^1(0)

f'=2*arcsin(x)/√(1-x^2),f'(0)=0
f''=2{1 -arcsin(x)*(-2x)/2√(1-x^2)}/(1-x^2),f''(0)=2
となるので、
nが偶数の時
f^(n)(0)=2{2^2*4^2*・・・*(n-2)^2}
となります。