雨の中を移動する

質問

雨の中を移動する
＜長年の疑問なのですが、どなたか同じようなことを考えた方はいらっしゃるでしょうか。＞
私も漠然とは疑問に思っていました。
http://okwave.jp/qa/q8583707.html

それで、No.1の方の説明を式にしましょう。

人の大きさがW(cm)*D(cm)*H(cm)走る距離がL(km)、
雨の落下速度が　V(km/hr)で与えられているとします。

上面の面積をSo(=W*D)、前面の面積をSf(=W*H)とし、
走る速さをｖ(km/hr)（v≠0）とします。
更に、雨滴の密度をρ(n個/cm3)とします。

距離Lを走る時間内に上面に当る雨粒の数Noは
　No ≈ ρ *So* V*(L/v)
( ≈ は比例を表す)
距離Lを走る時間内に前面に当る雨粒の数Nfは
ある雨粒が人の背丈Hの間を通過するに必要な時間H/Vの
間に人はv*H/Vだけ移動します。
この移動距離分だけ上からの雨粒は前方から当る様になります。
これが（L/v）時間続きます。
したがって
　Nf ≈ ρ *Sｆ*v*(H/V) (L/v) =ρ *Sｆ*(HL/V)

それぞれの比例定数をk1,k2と置くと
当る雨の総数Nは

N = ρ{k1* So* V*(L/v) + k2* Sｆ*(HL/V)}
= ρ{k1*WD*L*(V/v) + k2*WH^2*L/V}
= ρ*W*L(C1/v + C2)
ここに
　C1= k1*D*V、　C2 = k2*H^2/V

濡れ方（Nの量）は雨の密度と人の肩幅と距離に比例し、
( )内の第一項は速く走る（vが大きい）ほど小さくなり、
第二項が定数なので、濡れ方は早く走るほど少なくなります。

これで回答者の方々の説明通りで目出度し目出度し、と言いたいのですが、
残念ながら可笑しいのです。
第一項目の次元はk1*[個]ですが、第二項目の次元はk2[個＊時間]です。
第一項目のk1はk1=1[無次元]で良いはずですが、k2=?[ 時間^(-1)]
です。（これが ≈ で誤魔化した理由です。）

さてどこで間違ったのでしょうか？

今GW外しの旅行に出かけますので、その間アドバイスお願いいたします。

回答No.5

Tann3 · ベストアンサー

失礼ですが、単位が全く統一されていないので、下記のように統一します。長さ：m、時間：s。
　そうすれば、「比例」などというあいまいな関係ではなく、等号できちんと表せます。

＞上面の面積をSo(=W*D) （m^2）
＞走る速さをｖ(m/s)（v≠0）
＞雨滴の密度をρ(n個/m^3)
＞雨の落下速度が　V(m/s)

　距離L（m）を走る時間内に上面に当る雨粒の数No（個）は、次のように求められます。

　・距離Lを走る時間＝L/v　(s)
　・単位時間内に面積Soに降り注ぐ雨粒数＝ρ・So・V　（個/m^3・m^2・m/s　＝個/ s）
　従って、距離L（m）を走る時間では、
　　　No＝ρ・So・V・(L/v)　（個）　　　　　　（１）

　距離Lを走る時間内に前面に当る雨粒の数Nfは、次のように求まります。

　・距離Lを走る時間＝L/v　(s)
　・前面の面積Sf（m^2）が単位時間に横切る体積＝Sf・v　（m^3/s）
　・この体積に存在する雨粒数＝ρ・Sf・v　（個/s）
　従って、この時間内に前面が当たる雨粒数は、
　　　　Nf＝ρ・Sf・v・(L/v) ＝ρ・Sf・L　（個）　　　（２）

（質問者さんの引用）
＞距離Lを走る時間内に前面に当る雨粒の数Nfは
＞ある雨粒が人の背丈Hの間を通過するに必要な時間H/Vの
＞間に人はv*H/Vだけ移動します。
＞この移動距離分だけ上からの雨粒は前方から当る様になります。
＞これが（L/v）時間続きます。
＞したがって
＞　Nf ≈ ρ *Sｆ*v*(H/V) (L/v) =ρ *Sｆ*(HL/V) 　　　　（３）

　これはどうやら間違っています。

　質問者さんの式では、「ある雨粒が人の背丈Hの間を通過するに必要な時間H/Vの間に人はv*H/Vだけ移動」とあるが、雨粒は次々と上からやって来るので、「ある雨粒が人の背丈Hの間を通過するに必要な時間H/V」を考える必要はありません。進行方向に鉛直な面の雨粒数は、静止して一定密度で存在するのと同じことです。
　従って、「H/V」の項は不要です。

　もし「ある雨粒が人の背丈Hの間を通過するに必要な時間H/V」を考えるなら、「これが（L/v）時間続きます」ではなく、「これが（L/v）時間の間に、ｎ回繰り返されます」「これが距離Lを走る間に、ｎ回繰り返されます」としなければいけません。
　ｎは、距離Lを「ある雨粒が人の背丈Hの間を通過するに必要な時間H/Vの間に移動する距離v*H/V」で割って
　　　ｎ＝L/(v・H/V)　（無次元）
となります。
　ｎは、距離Lを走る時間（L/v）を「ある雨粒が人の背丈Hの間を通過するに必要な時間H/V」で割っても結果は同じです。
　従って、
　　　　Nf ＝ρ・Sｆ・v・(H/V) ・ｎ=ρ・Sｆ・v・(H/V)・L/(v・H/V)
　　　　　　=ρ・Sｆ・L　（個）
となって（２）式と一致します。

　当たる雨の総数Nは、（１）（２）より、

　　　Ｎ＝No＋Nf＝ρ・So・V・(L/v)　＋　ρ・Sf・L
　　　　　　　　＝ρ・L・［So・（V /v）＋ Sf ］　（個）　　　（４ａ）

となります。

　肩幅W、厚みD、身長Hを使えば

　　　Ｎ＝ρ・L・［W・D・（V /v）＋ W・H ］
　　　　＝ρ・L・W・［D・（V /v）＋ H ］　（個）　　　（４ｂ）

です。次元の問題もありません。

　（４ａ）（４ｂ）より言えることは次のとおりです。

（Ａ）第1項より、上面の濡れ方は、歩く速度vが大きいほど小さくなる、つまり早足で歩くほど濡れない、ということです。これは、一定距離Lに対し、早く歩くほど雨に濡れている時間が短くて済む、ということなので、考えてみれば当たり前です。

（Ｂ）第2項より、前面の濡れ方は、歩く速度によらず一定です。これも、「早く歩くほど前面に雨が当たるが、一定距離Lを歩く時間が短い」に対し、「ゆっくり歩けば前面に雨が当たりにくいが、一定距離Lを歩く時間が長い」ということで、どちらも総量は同じ、という至極当たり前の結論です。

　以上より、ご質問の中では、上記の（３）式に相当する部分が間違っているということです。

　ちなみに、ご質問の内容は「一定距離Lを歩くときの濡れ方」でしたが、生活の中では一般に「一定時間Ｔ歩いた時の濡れ方」のような感じ方をすることが多いように思えます。

　この場合には、（４ｂ）式のLを、

　　　L＝v・T

で置き換えると、

　　　Ｎ＝ρ・v・T・W・［D・（V /v）＋ H ］
　　　　＝ρ・T・W・［D・V＋ H・v ］　（個）　　　（４ｃ）

となります。

　（４ｃ）式から言えることは、

（Ａ）第1項より、上面の濡れ方は、歩く速度によらず一定になる、つまり、歩く速度 v によらず、傘の濡れ方は同じということです。（これは、雨の中にいる時間が同じなので、当然の結論）

（Ｂ）第2項より、前面の濡れ方は、歩く速度 v が大きいほど大きくなる、つまり急ぎ足で歩くほど濡れる、ということです。（これも、歩く速度 v が大きいほど前面に当たる雨粒が多くなり、雨の中にいる時間が同じなので総量は多くなる、という当然の結論）

　この結果が、「雨に濡れまいと急ぎ足で歩くと、ゆっくり歩くよりもよけいに濡れるような気がする」という生活感覚に一致するのではないでしょうか。

お礼

ご指摘の通りです。

確かに、人は全面が濡れると濡れたと感じる度合いが高い。
毛が薄くなった者には、上も気に成りますが中高生には。

ありがとうございました。

回答No.7

chiha2525

話がそれるけど、追い風の場合、話が面倒になるよねｗ

お礼

雨が斜めに降る場合は話が複雑になりそうですが、
前の方の定式化を使えば容易にできると思います。

回答No.6

htms42

ちょっとだけ見方を変えて考えてみます。
人を横から見て高さＨ、前後幅Ｄの長方形だとします。
（進行方向に垂直な方向の幅は考える必要はありません。単位長さとしておいても同じです。）
人の移動速度をＶ、雨の落下速度（鉛直方向）をＵとします。
目的地までの水平距離をＬとします。所要時間はｔ＝Ｌ／Ｖです。
ここで高校物理で出てきた相対速度を考えます。
雨は運動している人に対しては鉛直ではなくて傾いた方向に降ってくることになります。
鉛直に対する傾きの角度Θは　ｔａｎθ＝Ｖ／Ｕです。
雨の人に対する速さＵ’はＵ’＝√(Ｕ^2＋Ｖ^2)です。
／／／／／／／
ＭＭＭ／／／／
ＭＭＭ／／／／
ＭＭＭ／／／／
ＭＭＭ／／／／
ＭＭＭ／／／
ＭＭＭ／／
ＭＭＭ／
（図がうまくかけていません。左上と右下を通る線の間にある雨の範囲です。）
人（Ｍ）に当たる雨は図の斜線の範囲です。
雨の方向に垂直な幅（ｄ）を求めれば求めることができます。
ｄ＝Ｈｓｉｎθ＋ＤｃｏｓΘ
人が目的地まで移動する間に受け取る雨の量は単位肩幅あたり、
Ｒ＝ρｔｄＵ’
　＝ρＬｄＵ’／Ｖ
　＝ρＬ(ＨＶ＋ＤＵ)/Ｖ　
　＝ρＬ(Ｈ＋Ｄ(Ｕ／Ｖ))
第１項は体の全面部分が受け取る雨の量です。
Ｖが増加するとき、雨を受け取る断面積の増加と時間の短縮が打ち消しあって一定値になります。
第２項は体の上面が受け取る雨の量です。
断面積は減少します。時間も短くなります。受け取る雨の量は少なくなります。

お礼

このご指摘はNo.1の方の提案を数式化したものと
理解します。

このやり方は、次の回答者の言われる雨が斜めに降っている
場合に容易に適用できます。

回答No.4

178-tall

No.1 さんのモデルは、

　静止している雨滴密度ρの中を、直方体 W*D*H が水平方向へ速さ v で、垂直方向へ速さ V で移動。
　直方体が水平方向に距離 L だけ進んだとき、直方体の上面 W*D と前面 W*H がスイープする雨滴量 No, Nf を勘定せよ。

…というものらしい。

ならば、勘定結果は、
　No ≈ ρ*So* V*(L/v)　　…(1)
　Nf ≈ =ρ*Sf*L　　　　…(2)
のようですネ。

これなら、各項の「ディメンジョン」は。
　(滴量/体積) * (面積) * (長/時間) * (時間) → (滴量)　　…(1)
　(滴量/体積) * (面積) * (長) → (滴量)　　…(2)
らしいので、OK みたい。

お礼

そうなんですね。

最初に建てた式と同じ。
No = ρo*So* V*(L/v)　　…(1)
Nf = ρf*Sf*L　　　 　…(2)

として、ρoとρfの関係はと考えたのが
混乱の元。
御指摘ありがとうございました。

回答No.3

Hayashi_Trek

だいぶ前に、この問題（雨のときは走るべきか？歩くべきか？）に対する説明を見ました。それによると
前提として
・雨粒の落下速度は一定。（空気抵抗と重力加速が釣り合っている）
・雨粒の密度は目的地まで一定。
としたら、
（体の前面に当たる雨粒に関しては）雨粒は落下していないで（映画マトリクスの世界みたいに）空間に浮いているとみなしても計算結果は同じになる。
その場合、目的地までの移動速度がいくらであっても、体で掃いていく雨粒の数は変わらない。

一方、体の上部に当たる雨粒は、時間に比例するので、濡れたくなければ移動速度は速い方が良い。

という説明でした。

お礼

前の方にも書きましたが、質問の趣旨は
数式で表すとどうなる。何か変ですが、
助けて！！　でした。
ありがとうございました。

回答No.2

雪中庵（@psytex）

説明を分かりやすくするには、人体の表面を、上からの
見付け面積と、正面の見付け面積に分けた方が良い
（細長い箱に近似）。

正面は、止まっていれば濡れない。
動けば濡れるが、その濡れ方は、早く動けば多く濡れる
がすぐ終り、ゆっくり動けば少しだが長い時間濡れる。
要するに、時間によらず「正面の見付け面積×移動距離」
の空間の雨滴数を受ける（縦軸を時間軸とし、横軸を移動
距離とした座標を書けば、見付け面である直線の移動は
平行四辺形となり、いくら縦に伸びても（ゆっくり移動して
も）面積(=そこに含まれる雨滴)は変わらない）。

つまり、移動速度によって変わる濡れ方は、上からの
見付け面積の部分になる、
平らな面なので、通常の降雨量×時間の分だけ濡れ、
移動時間に比例して多く濡れる。
この、移動時間によらず濡れる量の変わらない正面から
の見付け面積の分と、移動時間に比例して増える上から
の見付け面積の分の和が、速度による濡れ方の違いだ。

お礼

確かにそうです。

最初は、上からの雨の面密度ρo、全面からの雨の面密度ρfとして
式を立てました。簡単な式ができますが、ρoとρfの関係を
導くのが中高生には解りにくいです。

他の質問では、言葉だけの回答が多かったので、数式を使った
説明の方が簡単ではと思い計算しました。
結果は何か変だなでした。

回答No.1

ORUKA1951

そのNo.1です。(^^)
わざわざ三次元で問題を複雑にする必要はありません。
要は、空間に均一に雨粒が存在するのなら、通過する空間の面積を比較すればよいのです。
前面は、その面積は距離に依存する平行四辺形
　底辺は一定、距離(高さ)も一定
上面は時間に比例する平行四辺形
　底辺は一定、時間(高さ)は速度に反比例

三次元で考えても同じはずです。

お礼

確かにその通りです。

中高生でも解る様に式を立てて見たら、あれれ？と成ったわけです。
その理由を尋ねたクイズ的な質問です。

返事遅れて申し訳ありませんでした。
１週間も土方仕事をしていたので。