ｈ同境定理について

質問

ｈ同境定理についての質問です。

W：単連結でコンパクトなｎ次元可微分多様体
V、V'：単連結でコンパクトで境界のないｎ－１次元可微分多様体　で
∂Ｗ＝Ｖ∪Ｖ’
であるとする。
このとき、これらが次の３つの条件
１）ｎ≧６
２）任意の整数ｑに対して、Hｑ（W、V）＝０（整数係数特異ホモロジー群のことです）
３）包含写像ｉ：Ｖ→Ｗ、ｉ’：Ｖ’→Ｗはともにホモトピー同値写像
を満たすとき、
Ｗ＝Ｖ×[0,1]（微分同相）
特にＶ＝Ｖ’（微分同相）である。

上記の主張がｈ同境定理です。またＶ、Ｖ’に対してこのようなＷが存在するとき、ＶとＶ’はｈ同境といいます。
この定理のｎ＝５の場合の反例、すなわち単連結な４次元閉多様体でｈ同境ではあるが、
微分同相でない例を探しているのですが、見つけることができません。

単連結な４次元閉多様体といわれ、安直に思いついたのが、
２次元複素射影空間、４次元球面、二つの２次元球面の直積
の３つなのですが、これらはいずれも２次元特異ホモロジー群が同型でないため、ホモトピー同値ですらありません。
（３つめの条件より、ｈ同境ならホモトピー同値です。）

また、３次元Poincare予想や、閉曲面の分類定理から、
４より小さい次元の閉多様体の直積によって構成できる単連結４次元閉多様体は、
２次元球面の直積しかありません。
２つの２次元複素射影空間の連結和は、２つの２次元球面の直積と、ホモロジー群が同型になるので、
これが微分同相でなければ反例になりうるのでは、と考えたのですが、
指導教官いわく、この２つはどうやら微分同相になるようです。
そして、現在の指導教官は専門が異なるので、このあたりにはあまり詳しくなく、わからないとのことでした。

そこで質問なのですが、
・この定理は本当にｎ＝５で成立しないのでしょうか？
・成立するならその証明が書いてある本、あるいは論文、
成立しないなら反例があげられている本、あるいは論文はご存知ないでしょうか？
ちなみにこの定理は田村一郎著、微分位相幾何学にのっているのですが、
そこではｎが６以上でないと、一般には成立しない事実を用いて証明しています。

よろしくお願いします。

回答No.1

wloop · ベストアンサー

http://en.wikipedia.org/wiki/H-cobordism_theorem
上のリンクに５次元でドナルドソンが微分同相で
成立しない例を示したとありましたので、
ドナルドソンで調べてみますとどうやら
Irrationality and the $h$-cobordism conjecture.
S. K. Donaldson.　J. Differential Geom. Volume 26, Number 1 (1987), 141-168
この論文でその反例が示されているようです。イントロしか
見てませんが２次元複素射影空間を９点でブローアップさせた
ものと、ドルガチェフ曲面とはｈ同境であるが可微分同相では
ないとありました。

お礼

わざわざありがとうございます。
やはりそう簡単には見つからないみたいですね…
反例のための例という感じでしょうか。。。
安直に思いついた空間から構成しようとしていた自分がばからしく思えてきました。ｗ
ブローアップと言いますと、代数多様体の特異点解消に関連して聞いたことはありますが、詳しいことは何一つ知りません…これから勉強していきたいです。

math sci netにあればいいのですが…一度検索してみます。
上のリンクも参考になりました。
４次元も同相だと成立するんですね。
それを用いてPoincare予想を示したようで。

本当にありがとうございました。