確率の問題です

質問

確率の問題です。得点１、2、…、ｎが等しい確率で得られるゲームを独立に3回繰り返す。このとき、2回目の得点が１回目の得点以上であり、 さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。ちなみに解答は、(ｎ＋１)(ｎ＋2)/６ｎ2乗です。どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

いくつかの解き方が考えられますが、感覚的にわかりやすいのではないかと思われる解法です。

第1,2,3回目の得点をそれぞれx,y,z(x,y,zは1以上n以下の整数)とすると、
すべての場合(事象)は添付した下の図のように空間座標を定めた場合の、x,y,z座標が1以上n以下の整数である点(格子点)に１対1で対応します。

この格子点の総数は、n^3であることは明らかであり、かつすべての事象が起こる確率が等しいので、1≦x≦y≦z≦n という題意を満たす格子点の数を求めてn^3で割れば確率が求められます。

題意を満たす格子点は、底面がZ=nのX-Y平面上の直角三角形で、点(1,1,1)を頂点とする、逆立ちした三角すいを作ります。

その個数は例えばZ=n のX-Y平面上では、下の図(左)で明らかなように、1+2+…n=n(n+1)/2
Z=k のX-Y平面上ではy,zがkを上回る点を除くので、1+2+…+k=k(k+1)/2 です。
Z=1 のX-Y平面上ではもちろん点(1,1,1)1つだけです。

題意を満たす格子点の総数は、これらをZ=1からZ=nまで足し上げたものだから、
Σ【kは1からnまで】k(k+1)/2=1/2(Σk^2+Σk)=1/2〔(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1))〕=1/2〔(1/6)n(n+1)(2n+1+3))=(1/6)n(n+1)(n+2)

したがって求める確率は、(1/6)n(n+1)(n+2)/n^3=(n+1)(n+2)/6n^2

お礼

すごくわかりやすい説明ありがとうございます。空間を使うのですね。ご説明に添って、自分で書きながら解いてみましたらできました。ありがとうございました。

回答No.3

staratras

No.2です。誤記を訂正します。失礼しました。

誤：Z=k のX-Y平面上ではy,zがkを上回る点を除くので…

正：Z=k のX-Y平面上ではx,yがkを上回る点を除くので…

お礼

わざわざ訂正をお知らせいただきありがとうございます

回答No.1

naniwacchi

1回目の得点を a、2回目の得点を b、3回目の得点を cとすると、
1≦ a≦ b≦ c≦ nとならなければならない。
あとは、以下を参照。
http://okwave.jp/qa/q5419311.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5419311.html

お礼

こちらの問題にもご回答ありがとうございます。