群論におけるコンパクトとコンパクト化

質問

群やリー代数でコンパクトという言葉をよく目にします。
リー代数におけるコンパクト（コンパクトリー群）の定義は内積が正定値にとれることだと思います。（コンパクトリー群の定義はよく分かってません。）

質問は幾何学におけるコンパクト化との関係についてです。微分幾何や多様体論でコンパクト化やコンパクト多様体という言葉は空間が閉じている（S^nやトーラスなど)ものだと理解しています。

群や代数におけるコンパクトと幾何学におけるコンパクトは関係がありますか？あるとしたらどのような関係ですか？

回答No.2

ramayana

なるほど、リー群のベクトル空間での表現を考えているのですね。次のような状況でしょうか（誤解があったらすみません）。

G をリー群とする。 V を実数体上の n 次元ベクトル空間とする。 GL(n) を実数体上の一般線形群とする。GL(n) は、自然にリー群としての構造を持つ。 V の基底を１つ固定すれば、 GL(n) の元は、V 内の線形変換とみなされる。ρを G の n 次 の表現とする。すなわち、ρを G から GL(n) へのリー群としての準同型とする。

さて、「コンパクト」と「正定値内積」との関係では、Weyl の定理が知られています。

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（Weyl の定理）　G がコンパクトなら、 V に G 不変な正定値内積が存在する。すなわち、 V の正定値内積 f(x, y) であって、G の任意の元 s と V の任意の元 x, y に対して

　　f(ρ(s)x, ρ(s)y ) = f(x, y)

を満たすものが存在する。
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ラフに言えば、「コンパクトなら正定値内積が存在する」ということです。しかし、逆に「正定値内積が存在するならコンパクト」が言えるかどうかは知りません。

なお、位相空間 X がコンパクトであるとは、「X が無限個の開集合で覆われているとき、そのうちの有限個ですでに X が覆われている」ということが、どんな無限個の開集合を持ってきても常に言えるということです。　

さらに、コンパクトリー代数の定義も、コンパクトリー群と同様で、「位相空間としてコンパクトなリー代数」ということです。

回答No.1

ramayana

リー群がコンパクトと言うのは、そのリー群が位相空間としてコンパクトという意味です。したがって、コンパクトリー群の「コンパクト」と幾何学の「コンパクト」は同義です。

ご質問の「内積が正定値にとれること」というのは、よく分かりません。そもそもリー群の「内積」とは何でしょうか。特定の分野でこういう用語が使われるのでしょうか？

補足

回答有難うございます。

>リー群がコンパクトと言うのは、そのリー群が位相空間としてコンパクトという意味です。

位相空間におけるコンパクトとはどのように定義されるのでしょうか？

>そもそもリー群の「内積」とは何でしょうか。

Lie群の内積ではなくLie代数の内積です。そしてコンパクトLie代数がつくるLie群がコンパクトLie群という意味です。分かりにくい書き方ですみません。
Lie代数が線形空間を定義するために内積を定義するのですが通常はTr(T_a T_b)を生成子T_aとT_bの内積として定義します。
この段階でトレースをとっているので表現を考えているのですが、代数の性質は表現によらないことから抽象的な演算子（作用素）がつくる線形空間に置き換えても問題無いと思います。
基底をうまく取れば一般にTr(T_a T_b)=k_a*δ_{ab}ととることができます。（δ_{ab}はクロネッカーデルタ）
このk_aは一般にはaのラベルによって正、0、負の値をとるのですが、任意のaに対して正の場合には適当に規格化して任意のa,bでTr(T_a T_b)=λ_{ab} (λ>0)とすることができて、これがコンパクトリー代数の定義だと思っていました。Georgiにはそのように書かれています。Georgiは物理よりなので数学では事情が異なるのでしょうか。