※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:微分幾何、多様体を学ぶといいことは)
微分幾何、多様体を学ぶといいことは
このQ&Aのポイント
多様体の上での微分方程式の考察には新たな可能性が広がる
多様体はRやR^nを拡張したものであり、親しみやすさを保ちながら新たな概念を導入する
多様体の学習は位相空間論や微分幾何における基礎を理解し、数学的な洞察力を養う
大学院で解析、特にフーリエ解析や微分方程式を勉強しているのですが、R^nの上だけで何か目新しいことをするのは無理があるのかな、と思うようになりました。そこで、時々多様体の上で微分方程式を考える、というような記述を見ます。
学部の時、位相空間論や微分幾何は定義が多くて苦手だったのですが、もっと勉強しとけばよかった、と思うようになりましたが、そもそも、
1.多様体の上で考える、とはどのような意義があるのか
2.RやR^nは何となく親しみやすいものの、多様体はそれらの拡張、と言われますが、どう拡張したものかイメージ
3.そもそも多様体を学ぶ意義
など、教えてもらいたいです。