ベクトル空間 W が Lie 代数( Lie 環 ) であるとは

質問

ベクトル空間 W が Lie 代数( Lie 環 ) であるとは

X,Y ∈W にたいして [X,Y] ∈W 演算が定義でき、

下の四つの関係式を満たすことであると、教科書は天下り的に示します。

１ [X+Y,Z] = [X,Z] + [Y,Z]
２ [aX,Y] = a[X,Y] a ∈R
３ [X,Y] = -[Y,X]
４ [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0

1,2,3 式の意味は解る気がします。Lie 群、Lie 代数は時間に依存して変化す
る事象の代数的な性質を抽象的に抜き出したものだと思います。１,２ 式は
[X,Y] が bilinear な関係であることを意味していると思います。３式の反交
換関係は時間に方向性があることを反映しているのだと思います。

でも４式の意味が解りません。この式はどんな物理的な意味を持つのでしょう
か。幾何的にどんな意味を持つのでしょうか。Poison Bracket がこの４式満
たすのは解りますが、この式を基本法則に持ってくる必然性が理解できません。

逆に１,２,３式のみで４式を必要としない空間は意味がない代数空間なのでし
ょうか。

Lie 代数に詳しいどなたか、教えていただけますでしょうか。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

４式がLie環を特徴づける性質です。1,2式は環（多元環）の性質であり、３式はその多元環が交代的（反交換的）であることを意味します。したがって、１,２,３式のみで４式を必要としない空間は交代的な乗法をもつ多元環として重要な意味をもつ代数空間です。その代数空間の特殊なものが、Lie環です。

物理的な意味ですが、それはどんな物理的な対称を考えているかによります。数学的な対称に限ってみても、Lie環の例は数多くあります。これは、ご自分で容易に調べることができるでしょう。

回答No.2

yumisamisiidesu

4.の性質は共変微分とか出会ったような気がします