数学書の名著、お薦め教えてください

質問

はじめて、投稿します。よろしくお願いします。

私の数学のレベルは、高校卒業ぐらいです。
大学１－２年レベルから始めたいと思っています。
目標は、数学の厳密な基礎概念に基づいた数学体系全般・数学的方法全般の習得においています。

今、高校以上の数学書で所蔵しているのは、『微分積分概論』（越昭三監修／高橋泰嗣・加藤幹雄共著）
『数学小事典』（矢野健太郎編）
『数学英和・和英辞典』（小松勇作編）

自分なりに、数学書を本屋などで見たのですが、素人ですので、どれも大同に思えてしまいます。

そこで、最初に読むべき名著だという数学書は、ないでしょうか？

また、『教えて！goo』で以前の投稿を閲読したのですが、最初は「集合論」あるいは「数学基礎論」あるいは「実数論」と人によって見解が分かれていて、どの分野から手をつけるべきか迷っています。
どこから手をつけるべきでしょうか？

また、大体の流れは、「数学基礎論」「実数論」「集合論」→「線型代数」「微積分」→「群論」でいいのでしょうか？そうすると、位相幾何学、微分幾何学、代数学、解析学は、どのタイミングで学べばいいでしょうか？

回答No.2

Nandayer · ベストアンサー

pythagoras さんの勉学への意欲に敬意を表します。

　まずは微分積分と平行して、線型代数を学習されることをお勧めします。教科書は、
　　　齋藤正彦著「線型代数入門」基礎数学１・東京大学出版会
が一般的だと思います。これより高度な内容を扱ったものには、
　　　佐竹一郎著「線型代数学」数学選書１・裳華房（しょうかぼう）
があります。
　線型代数で公理的な扱い方に慣れ、その有用性がわかっていないと、集合論・位相空間論へ進んでいくのは難しいと思います。とりあえず線型空間の公理系までを目標にしてはどうでしょうか。

　微分積分では＃１の方が勧めておられる「解析概論」が定番でしたが、最近では、
　　　杉浦光夫著「解析入門Ｉ」基礎数学２・東京大学出版会
の評判もよいようです。実数論は、微分積分の基礎（ foundation の意味であって、決して易しくはありません）として「解析概論」「解析入門Ｉ」ともに第１章が当てられています。
　微分積分では、積分の厳密な定義、無限級数あたりがとりあえずの目標になるでしょう。そのあたりまでこなせば、複素関数論へ入っていくこともできるかと思います。

　群論などの代数学、位相幾何学は、集合論・位相空間論が済んでいないとムリだと思います。他の分野も同様ですので、とりあえずは以上のようなところから始められてはいかがでしょう。

お礼

ありがとうございます。大変参考になりました。

早速、『線型代数入門』『解析入門１』を注文しました。『線形代数学』と『解析入門２』は、おいおい購入するつもりです。『解析概論』については、状況をみながら、購入するかどうか決めたいと思っています。

まずは、Nandayerさんのおっしゃった目標、線型空間の公理系、積分の厳密な定義、無限級数
の理解を目指して行きたいと思います。

Nadayerさんの敬意に対して、ありがたく感じております。一歩一歩着実に進んで生きたいと思います。

回答No.1

shift4

数学の名著といえば、高木貞治著「解析概論」が思い浮かびます。
古い版はカタカナで書かれていて、すごく読み難いですが、独特の(アカデミックな？)雰囲気があります。

テキストは分野によって、回答者それぞれの思い入れのある本や、良い本が紹介されると思います。
でも、もし情報があまり集まらなかったら、とりあえず導入として、放送大学のテキストはいかがでしょうか。
全国どこでも比較的入手しやすく、また出版年が新しく、数年に一度改定されるため、誤謬や古い内容が少ないと予想されます。

あまり参考にならない回答ですみません。

お礼

早速のご返答ありがとうございます。参考になりました。

『数学概論』は、他のなんにんかも名著であると言われていますね。今度、書店などで、閲読してみたいと思います。

放送大学のテキストについては、以前少し調べたことがあるのですが、もう一度調べてみたいと思います。

また、何かありましたら、よろしくお願いします。