複素数の積分について

質問

初学者です。

複素数の積分についてなんですが、なんで経路を指定するのでしょうか。

普通に実関数と同様に複素関数のグラフはひとつに定まるからそのグラフと実軸との面積ではないのでしょうか。

お願いします。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

一度多変数の微積分を学んでみては？
ー変数の考え方に硬直しているようですが、
多変数の微積分をしっていれば、どうということもない話です。

回答No.3

funoe

どこかでイメージの齟齬が生じているのでしょうけど、それがわかりません。
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Ｃ上で定義された関数ってことは、気持ち的にはｘｙ平面上で、複素数値をとる関数が定義されているってのはＯＫ？

わかりやすさのため、関数値として実数値しかとらない複素関数を考えてみよう。
すると、ｘｙ平面上に場所によって高さ（実数値）が変わる「地形図」のような図がイメージできますね。
いま、その地形図に富士山のような山が描けているとしましょう。

麓の街から山頂まで、いろんなルートが考えられます。
一直線に最短距離で登っていくコース、ジグザグに山道に沿っていくコース、あえて急峻な崖を上るコース。

登山者が1歩歩くたびに、その地点の「標高値」をどんどん加算・累積していったとします。
（いや、ほんとうは、Zi-Z(i-1)を掛けながらですけど）
山頂についいたとき、「コースによって累積値が異なる」のはむしろ当然に思えませんか？
だって、コースによってルートが違うということは歩数（歩いた距離）も全然違うんですよ。

たとえ話で不愉快なら先に提示した、
ｆ（ｚ）＝１　ｚ∈Ｒ
ｆ（ｚ）＝０　￢（ｚ∈Ｒ）：ｚが実数でないとき

を具体的に、
（０，０）→（０，１）→（１，１）　で積分すれば、積分値は０
（０，０）→（１，０）→（１，１）　で積分すれば、積分値は１というを確認すればわかってもらえると思うのですが・・・・。

回答No.2

rinkun

経路が異なるということは積分する範囲が異なるということですが、分かっていますか?
１次元では２点を結ぶ経路が一つしかないから問題にならないだけで、２次元(複素数は実数上の２次元ベクトル空間です)以上では経路を指定しないと積分範囲を指定できません。
# 正則関数ならコーシーの積分定理で経路に寄らないと言えますが

回答No.1

funoe

>なんで経路を指定するのでしょうか。

→経路を指定しないと値が定まらないから・・・。

>複素関数のグラフはひとつに定まるから

　→もしかして、正則関数だけに限定して質問していますか？

＞そのグラフと実軸との面積ではないのでしょうか

　→どのようなイメージでおっしゃっているのか、ちょっとよくわからないです。

　f(z)=1　z∈R
　　　＝0　上記以外
　っていう複素関数を　(0,0)=0+0i　から　(1,1)=1+1i　まで積分するとき
　(0,0)→(1,0)→(1,1)　という経路と
　(0,0)→(0,1)→(1,1)　という経路では積分値って違いますよね。

補足

別に正則とかじゃなくてもグラフがつながってったら

複素関数ってグラフがかけませんか？
グラフがかけたら実関数と同じように積分と言ったら面積ではないのでしょうか。