複素積分の確認

質問

初心者です。複素積分の確認をお願いします。

1/(x+ic)^2 c>0

を積分範囲x=[-∞,∞]で積分すると、0でしょうか。

（虚軸上 z=-ic に２位の極なので、下半円の積分経路で０と思いました。）

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

その被積分関数は、
x=-ic に唯一の特異点を持ち、そこでの留数が 0 です。
よって、コーシーの積分定理により、閉路積分すれば値は 0 になります。
特異点が二位の極であること自体には、あまり意味はありません。
二位の極であることを使って、留数を求めるだけです。

中心 -ic 半径 r の円板と、下半平面の共通領域を D とし、
D の境界を時計回りに周る閉路の直線部分を L、円弧部分を C とします。
問題の被積分関数を、L+C 上で積分すると 0 だということです。

C 上では、被積分関数の絶対値は 1/rの2乗 であり、
C の弧長は 2πr 以下ですから、
C 上の積分の絶対値は 2πr/(rの2乗) 以下です。

上記を併せて、r→∞ の極限を考えれば、
問題の積分は、L 上の積分の極限として =0 と求まります。

下半平面側で計算すると、
弧上部分の積分値の処理がスムーズですね。

お礼

丁寧にありがとうございます。

回答No.3

info22_

>参考までに？とは、考え方が間違っていたでしょうか。

>虚軸上 z=-ic に２位の極なので、下半円の積分経路で０と思いました。
何故、下半円の積分経路なんでしょう。必然性がありますか？

上半分の積分路ではダメですか？
上半分の積分経路でも正則なので複素積分は０になると思いますが...

といった意味での「？」です。

お礼

なるほど、ありがとうございます。
教科書を見ると、必ず極を回るようにとっているのでそうしなければいけないように感じていました。

回答No.2

info22_

>積分範囲x=[-∞,∞]で積分すると、0でしょうか。
ゼロです。

lim(R→∞)∫[C]1/(z-ic)^2 dz=0
C={z|z=x,x=-R→R}

>虚軸上 z=-ic に２位の極なので、下半円の積分経路で０と思いました。
？

お礼

ありがとうございます。
０でいいのだろうと思います。参考までに？とは、考え方が間違っていたでしょうか。

回答No.1

yyssaa

1/(x+ic)^2=1/(x^2-c^2+2icx)
=(x^2-c^2-2icx)/{(x^2-c^2)^2+4c^2x^2}
=(x^2-c^2-2icx)/(x^2+c^2)^2
=(x^2-c^2)/(x^2+c^2)^2-(2icx)/(x^2+c^2)^2
ですからx=[-∞,∞]で積分しても０にはならないと思います。

補足

ありがとうございます。
この変形でも０になるように思います。

第２項は奇関数で０．
第１項も積分すると０のようです。
1/(x^2+b)^n の０→∞積分= [(2n-3)!!/(2n-2)!!][π/(2b^n)]sqrt(b)
を使いました。