連続関数空間上の有界線型汎関数の近似
B={[0,T]→R;conti}を有限区間[0,T]上の実数値連続関数の全体として、一様ノルムを入れてバナッハ空間とみなします。
[0,T]の任意有限個の時刻t_1,…,t_nと任意の実数ξ_1,…,ξ_nを固定して、
B∋w→ξ_1w(t_1)+ξ_2w(t_2)+…+ξ_nw(t_n)
によってB上の有界線型汎関数が定まります。そこでこのタイプの汎関数を有限個の時刻のみで決まる汎関数と呼ぶことにします。
示したい問題は、B上の任意の有界線型汎関数φ∈B*に対して、有限個の時刻のみで決まる汎関数の列φ_nがあって、φに汎弱収束する（i.e.任意のw∈Bに対して、φ_n(w)→φ(w)が成り立つ）という命題です。
直感的には連続関数空間に一様ノルムを入れているので、可算個の点の情報だけで汎関数は決定されるべきですが、きちんと証明しようとすると躓きました。特に与えられたφに対してφを近似するようなξをうまく取ってくることができず証明が終わりません。たとえばBは可分なのでdense subsetを取り、その中からn個を取って、φ_nを作る、というようなことを考えたりしたのですが、φ_nのノルムの一様有界性が出なかったりで苦戦しています。このような方針はよくないのでしょうか。
ヒントでも構わないので、何かコメント頂けるとうれしいです。たぶんそれほど難しい問題ではないとは思うのですが．．．
お礼
そうですね、カントール関数は、分布関数で、非可算個の微分不可の点をもちますね。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0 ご指摘いただき、ありがとうございます。